学案17 空间向量与立体几何.ppt

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1、1.空间向量及其运算:①了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.②掌握空间向量的线性运算及坐标表示.③掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.2.空间向量的应用:①理解直线的方向向量与平面的法向量,能运用向量语言表述直线与直线,直线与平学案17空间向量与立体几何面,平面与平面的垂直关系与平行关系.②能运用向量的方法证明有关直线与平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).③能运用向量的方法解决直线与直线,直线与平面,平面与平面的夹角的计算,了解向量方法在研究立体

2、几何中的应用.1.(2009·北京)若正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为1,AB1与底面ABCD成60°角,则A1C1到底面ABCD的距离为()A.B.1C.D.解析如图所示,直线AB1与底面ABCD所成的角为∠B1AB,而A1C1到底面ABCD的距离为AA1,在Rt△ABB1中,B1B=AB·tan60°=,所以AA1=BB1=D2.(2009·全国Ⅱ)已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,AA1=2AB,E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析如图,连结A1B,则A1B∥CD1,故

3、异面直线BE与CD1所成的角即为BE与A1B所成的角.设AB=a,则A1E=a,A1B=BE=△A1BE中,由余弦定理得C3.(2009·四川)如图,已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各条棱长都相等,M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM所成的角的大小是_____.解析延长A1B1至D,使A1B1=B1D,则AB1∥BD,∠MBD就是直线AB1和BM所成的角.设三棱柱的各条棱长为2，则BM=BD==16+4-2×4=12.DM2=C1D2+C1M2=13,∴∠DBM=90°.答案90°4.若一个底面边长为棱长为的正六棱柱的所有顶点都在

4、一个球的面上,则此球的体积为_____.解析根据条件正六棱柱的最长的对角线为球的直径,由球体积为题型一利用空间向量证明空间位置关系【例1】(2009·北京)如图,四棱锥P—ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,点E在棱PB上.(1)求证:平面AEC⊥平面PDB;(2)当PD=AB且E为PB的中点时,求AE与平面PDB所成的角的大小.方法一(1)证明∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AC.∴AC⊥平面PDB.∴平面AEC⊥平面PDB.(2)解设AC∩BD=O,连结OE.由(2)知AC⊥平面PDB于O.

5、∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角.∵O、E分别为DB、PB的中点，∴OE∥PD且OE=PD.又∵PD⊥底面ABCD，∴OE⊥底面ABCD,OE⊥AO.在Rt△AOE中,∴∠AEO=45°,即AE与平面PDB所成的角为45°.方法二如图,以D为原点建立空间直角坐标系D—xyz.设AB=a,PD=h,则A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),D(0,0,0),P(0,0,h).(1)证明∵=(-a,a,0),=(0,0,h),=(a,a,0),∴AC⊥DP,AC⊥BD.又∵BD∩DP=D,∴AC⊥平面PDB.∴平面AEC⊥平面

6、PDB.(2)解当PD=AB且E为PB的中点时,P(0,0,),设AC∩BD=O,则连结OE.由(1)知AC⊥平面PDB于O.∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角.∴∠AEO=45°,即AE与平面PDB所成的角为45°.【探究拓展】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力等.变式训练1如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=(1)证明:平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A—BE—P的大

7、小.方法一(1)证明如图所示,连接BD,由ABCD是菱形且∠BCD=60°知,△BCD是等边三角形.因为E是CD的中点,所以BE⊥CD,又AB∥CD,所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD,BE平面ABCD,所以PA⊥BE.而PA∩AB=A,因此BE⊥平面PAB.又BE平面PBE,所以平面PBE⊥平面PAB.(2)解由(1)知,BE⊥平面PAB,PB平面PAB,所以PB⊥BE.又AB⊥BE,所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角.在Rt△PAB中,tan∠PBA=∠PBA=60°.故二面角A—BE—P的大小是60°.方法二如图所示

8、,以A为原点,建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A(0,0,0),B(1,0,0),(1)证明因为=(0,,0),平面PAB的一个法向量是n0=(0,1,0),所以和n0