空间向量与立体几何.ppt

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1、1．知识与技能掌握空间向量的数乘运算．理解共线向量，直线的方向向量和共面向量．2．过程与方法能够利用共线向量和共面向量进行推理和论证．重点：向量的数乘运算，共线向量与共面向量定理．难点：共线向量和共面向量的理解与运用．1．共线向量前面，我们学习了平面向量共线的充要条件，这个条件在空间也是成立的，即①a∥b，b≠0，则存在唯一实数x使a＝xb；②若存在唯一实数λ，使a＝λb，则a∥b.判定两向量共线的关键是找到实数λ.运用②证明直线平行还需说明a(或b)上有一点不在b(或a)上．运用②证明三点共线，还需说明a与b有公共点．2．共面

2、向量①a∥α是指a所在的直线在平面α内或平行于平面α.②共面向量是指这些向量所在的直线平行或在同一平面内，共面向量所在的直线可能相交、平行或异面．空间任意两个向量总是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面了．例如，图中的长方体，向量，无论怎样平移都不能使它们在同一平面内．向量p与不共线向量a，b共面⇔存在惟一有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb(※)1．空间向量的数乘运算(1)定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个，称为向量的数乘运算．(2)向量a与λa的关系向量λ的范围方向关系模的关系λ>0方向.λa的模是a的模的倍.

3、λ＝0λa＝0，其方向是任意的λ<0方向.相同相反

4、a

5、(3)空间向量的数乘运算律设λ、μ是实数，则有①分配律：λ(a＋b)＝.②结合律：.λa＋λbλ(μa)＝(λμ)a2．共线向量与共面向量共线(平行)向量共面向量定义表示空间向量的有向线段所在的直线，则这些向量叫做或平行向量平行于的向量叫做共面向量充要条件对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使.若两个向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使.互相平行或重合共线向量同一个平面a＝λbp＝xa＋yb[例1

6、]已知ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O.Q是CD的中点，求下列各式中x、y的值：[分析]由题目可以获取以下主要信息：①ABCD是正方形，O为中心，PO⊥面ABCD，Q为CD中点；②用已知向量表示指定向量．解答本题需准确画图，先利用三角形法则或平行四边形法则表示出指定向量，再根据对应向量的系数相等．求出x、y即可．[解析]如图，[例3]正方形ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P、Q分别为A1D1、D1C1、AA1、CC1的中点，求证：M、N、P、Q四点共面．[例

7、4]已知e1，e2是不共线向量，a＝3e1＋4e2，b＝－3e1＋8e2，判断a与b是否共线．[误解]因为3e1与－3e1共线，4e2与8e2共线，所以a与b共线．[辨析]没有准确理解向量共线的充要条件：任一向量a与非零向量b共线的充要条件是a＝λb.一、选择题1．下列命题中正确的是()A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线B．向量a、b、c共面即它们所在的直线共面C．零向量没有确定的方向D．若a∥b，则存在惟一的实数λ，使a＝λb[答案]C[解析]由零向量定义知选C.而A中b＝0，则a与b不一定共线．2．若e1，e2是同一

8、个平面α内的两个向量，则()A．平面α内任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)B．若存在实数λ1，λ2，使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0C．若e1，e2不共线，则空间任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)D．若e1，e2不共线，则平面α内任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)[答案]D[解析]由共面向量定理知选D.[答案]A[点评]用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，运用三角形法则或平行四边形法则及向量线性运算的运算律进行．