原子的结构和性质.ppt

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1、第二章原子的结构和性质习题计算氢原子的基态波函数在处的比值。[解]：氢原子基态波函数为：该函数在两处的比较值为：而本题的计算结果所表明的物理意义是不言而喻的。而且，如果我们注意到在r的全部区间内随着r的增大而单调下降这个事实，计算结果的合理性也是显而易见的。已知氢原子的试问下列问题：（a）原子轨道能E=？（b）轨道角动量

2、M

3、=？轨道磁距

4、μ

5、=？（c）轨道角动量M和Z轴的夹角是多少度？（d）列出计算电子离核平均距离的公式（不必计算出具体的数值）。（e）节面的个数、位置和形状怎样？（f）几率密度极大值的位置在何处？（g）画出径向分布图。

6、[解]：（a）原子轨道能为：（b）轨道角动量为：轨道磁距为：（c）设轨道角动量M和Z轴的夹角为θ，则：θ=900（d）电子离核的平均距离的表达式为：(e)令,得：节面或节点通常不包括的节面只有一个，即x,y平面（当然，坐标原点也包含在xy平面内）。亦可直接令函数的角度部分.（f)几率密度为：由式可见，若r相同，则当θ=00或θ=1800时ρ最大（亦可令），以ρ0表示，即：解之得：又因：所以，当有极大值。此极大值为：=36.4nm-3(g)根据此式列出D-r数据表：01.02.03.04.05.06.000.0150.0900.1690.

7、1950.1750.1347.08.09.010.011.012.00.0910.0570.0340.0191.02×10-25.3×10-3按表中数据作D-r图，得下图：由图可见，氢原子的径向分布图有个极大（峰）和个极小（节面），这符合一般径向分布图峰数和节面数的规律。其极大值在处，这与最大几率密度对应的r值不同，因为二者的物理意义不同。另外，由于径向分布函数只与有关而与无关，、和的径向分布图相同。作氢原子的图，证明极大值在处，并说明两种图形不同的原因。[解]：H原子的分析、的变化规律，估计的变化范围及特殊值，选取合适的值，计算出列于

8、下表：*从物理图象上来说，只能接近于0。0*0.100.200.350.500.700.901.101.301.000.820.670.490.370.250.170.110.0700.030.110.240.370.480.540.540.501.602.002.302.503.003.504.004.505.000.040.020.010.0070.0030.001<0.001——0.420.290.210.170.090.040.020.010.005根据表中数据作图如图2.9（a）和(b)所示。令得即处有极大值，这与称为H原子的

9、最可几半径，亦常称为Bohr半径。推广之，核电荷为Z的单电子“原子”，1s态最可几半径为。图不同的原因是的物理意义不同，表示电子在空间某点出现的几率密度，即电子云。而的物理意义是：Ddr代表在半径为和半径为的两个球壳内找到电子的几率。两个函数的差别在于不包含体积因素，而Ddr包含了体积因素。由图可见，在原子核附近，电子出现的几率密度最大，随后几率密度随的增大单调下降。由图可见，在原子核附近，接近于0，随着的增大，先是增大，到时达到极大，随后随的增大而减小。由于几率密度随的增大而减小，而球壳的面积随的增大而增大，两个随变化趋势相反的因素的

10、乘积必然使出现极大值。写出Li2+离子的Schrodinger方程，说明该方程中各符号及各项的意义；写出Li2+离子1s态的波函数并计算或回答：（a）1s电子径向分布最大值离核的距离；（b）1s电子离核的平均距离；（c）1s电子几率密度最大处离核的距离；（d）比较Li2+离子的2s和2p态能量的高低；（e）Li原子的第一电离能（按Slater屏蔽常数算有效核电荷）。[解]：Li2+离子的Schrodinger方程为：方程中，分别代表Li2+的约化质量和电子到核的距离；分别是Laplace算符、状态函数及该状态的能量，则分别是Planck

11、常数和真空电容率。方括号内为总能量算符，其中第一项为动能算符，第二项为势能算符。Li2+离子1s态的波函数为：（a）又1s电子径向分布最大值在距核处；（b）（c）因为随着的增大而单调下降，所以不能用令一阶导数为0的方法求其最大值离核的距离。分析的表达式可见，=0时最大，因而也最大。但实际上不能为0（电子不可能落到原子核上），因此更确切的说法是趋近于0时1s电子的几率密度最大。（d）Li2+为单电子“原子”，组态的能量只与主量子数有关，所以2s和2p态简并，即即E2s=E2p.（e）Li原子的基组态为(1s)2(2s)1。.对2s电子来说

12、，1s电子为其相邻内一组电子，=0.85。因而：根据Koopmann定理，Li原子的第一电离能为：已知He原子的第一电离能I1=24.59eV，试计算：（a）第二电离能；（b）基态能量；（c）在1s轨道中