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《高数(同济第六版)下册无穷级数要点.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第十二章无穷级数1．常数项级数�定义：设给定一个数列：uu,,⋯u,⋯，12n∞式子u1+u2+⋯+un+⋯=∑un称为无穷级数，简称级数，其中un称为一般项或通项。n=1前n项的和为：S=u+u+⋯+u；称SS,,⋯S,⋯为部分和数列；n12n12n∞若limSn=S，称数列收敛，S为级数的和，即：∑un=S；n→∞N=1若limS不存在，称级数发散。nn→∞�性质：（1）若级数∑∑un,vn都收敛，则�∑(un±vn)也收敛，且∑(un±vn)=∑un±∑vn�∑cun也收敛，且∑cun=c∑un（1）级数中去掉、加上或改变有限项，敛散性不
2、变；（2）收敛的级数加括号后仍收敛，且其和不变；加括号后级数发散，则原级数也发散。（3）级数收敛的必要条件：若级数收敛，则limu=0；若limu≠0，则原级数一定发nnn→∞n→∞散。2．正项级数及其审敛法∞�正项级数定义：如果级数的每一项都大于或等于零，称级数∑un为正项级数。n=1�正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列{}s有界。n∞∞�比较审敛法：设∑∑un,vn是两个正项级数，且un≤vnn(=1,2,⋯)，n=1n=1∞∞∞∞若∑vn收敛，则∑un也收敛；若∑un发散，则∑vn也发散。n=1n=1n=1n=1∞∞un�比较审敛法的
3、极限形式：设∑∑un,vn是两个正项级数，lim=ln→∞vn=1n=1n若0<<+∞l，则∑un与∑vn同敛散；∞∞若l=0，则当∑vn收敛，有∑un也收敛；n=1n=1∞∞若l=+∞，则当∑vn发散，有∑un也发散。n=1n=1∞�比较审敛法的推论：设∑un是正项级数，n=1∞若limnun=l，当l>0或l=+∞时，则级数∑nu⋅n发散。n→∞n=1∞p若p>1，而limnun=l，当0≤<+∞l，则∑un收敛。n→∞n=1∞⎧⎪ρ<1,∑un收敛n=1∞u⎪n+1⎪�比值审敛法：设∑un是正项级数，则lim=ρρ⎨=1,不定n→∞un=
4、1n⎪∞⎪ρ>1,∑un发散⎪⎩n=1∞⎧⎪l<1,∑un收敛n=1∞⎪⎪�根式审敛法：设∑u是正项级数，则limnu=l，则⎨l=1,不定nnn→∞n=1⎪∞⎪l>1,∑un发散⎪⎩n=13．交错级数及其审敛法∞∞n−1n�定义：∑(1)−un或∑(1)−un(un>0,n=1,2,⋯)（正负交替出现的级数）；n=1n=1∞n−1�莱布尼兹审敛法：如果交错级数∑(1)−un满足：n=1（1）limu=0；（2）u≥u(n=1,2,⋯)；nnn+1n→∞则交错级数是收敛的，且其和s≤u，其余项r的绝对值r≤u。1nnn+14．绝对收敛与条件收敛
5、∞�定义：设∑un为任意项级数n=1∞若∑un收敛，称绝对收敛；n=1∞∞若∑un发散，但∑un收敛，称条件收敛。n=1n=1�绝对收敛必收敛。5．函数项级数的基本概念∞�定义：称形如∑uxn()=ux1()+ux2()+⋯+uxn()+⋯为函数项级数。n=1∞�函数项的收敛点：∀∈x0I，∑uxn()0收敛，称x0为函数项级数的收敛点；n=1∞函数项的发散点：∀∈x0I，∑uxn()0发散，称x0为函数项级数的发散点；n=1�收敛域：收敛点的全体。∞∞�和函数：若∑uxn()0收敛，则∑uxn()=sx()，称sx()为和函数。n=1n=16
6、．幂级数及其收敛性∞n2n�定义：∑axxn(−0)=a0+axx1(−0)+axx2(−0)+⋯+axxn(−0)+⋯幂级数n=0�幂级数收敛定理——阿贝尔定理∞n如果幂级数∑axn当x=xx0(0≠0)时收敛，则对满足不等式xx0的一切x，幂级n=0数都发散。注：（1）幂级数的收敛域在发散域内部；（2）幂级数的收敛域为区间；∞n（3）存在正数R，使∑axn在(−RR,)内收敛，且绝对收敛；n=0（4）R—收敛半径；(−R
7、R,)收敛区间；收敛域：收敛区间(−RR,)∪收敛端点。�收敛半径R的求法∞若axn的系数a满足liman+1=ρ，或limn
8、a
9、=ρ；(ρ为正常数或+∞），∑nnnn→∞an→∞n=0n那么它的收敛半径为：1（1）当0<ρ<+∞，有R=；（2）当ρ=0，则R=+∞；（3）当ρ=+∞，有R=0。ρ∞n�求幂级数∑anx收敛域的基本步骤：n=0（1）求出收敛半径R.；∞∞nn（2）判别常数项级数∑anR,∑an(−R)的收敛性；n=0n=0（3）写出幂级数的收敛域。注：若幂级数有缺项的话，如缺少奇数次幂的项等，此公式不能直接使用。此时应将幂级数
10、视为函数项级数并利用比值判别法或根值判别法其收敛域。7．幂级数的性质∞∞nn设∑axn,∑bxn的收敛半径分别为RR1,2，其和函数分别为sxsx1(
