热传导问题的数值解法2015简化版.ppt

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1、4.1导热问题数值求解的基本思想4.2计算区域离散化与节点方程的建立4.3温度场内节点离散方程的建立4.4边界节点离散方程的建立4.5节点方程的求解4.6*一维非稳态导热问题数值解法第4章导热问题的数值解4.1.1数值计算求解思想把原来在时间和空间连续的物理量的场，用有限个离散点上的变量值的集合来代替，通过一定的原则和方式建立起这些离散点上变量值之间的关系的代数方程组，通过求解代数方程组以获得场变量的近似值。4.1导热问题数值求解的基本思想建立控制方程及定解条件确定节点（区域离散化）建立离散方程和定解条件给定求解控制参数求解离散方程是否收敛解的分析是否4.1.2物理问

2、题的数值求解过程4.1.3数值传热学中常用数值方法▲▲有限差分法（finitedifferencemethod，FDM）有限容积法(Finitevolumemethod，FVM)有限单元法（finiteelementmethod，FEM）边界元法（boundaryelementmethod，BEM）节点节点节点有限单元边界单元EWNSP有限差分法有限单元法边界元法有限容积法基本思想：将求解域划分为差分网格，用有限个离散节点代替连续的求解域。有限差分法WENSP数学基础：在每个节点上，将控制方程中各阶导数（微商）用相应的差分表达式（差商）来代替，从而在每个节点上形成一个

3、代数方程，每个方程中包括了本节点及其附近一些节点上的未知值，求解这些代数方程即可获得近似数值解。Δx1Δx2Δx3Δx0xTT3T2T1T0bdca几何意义：是用函数在某区域内的平均变化率代替函数的真实变化率。基本思想：将求解区域划分成一系列控制容积，每个控制容积都有一个节点做代表。有限容积法EWNSP数学基础：通过将守恒型的控制方程对控制容积做积分来导出离散方程。特点：离散方程系数物理意义明确，导出的离散方程可以保证具有守恒特性。4.2计算区域离散化与节点方程的建立区域离散化（domaindiscritization）：对空间连续的计算区域进行剖分，将其划分为许多个

4、子区域，并确定每个区域的节点，此过程又称为网格生成。实质：用一组有限个离散的点来代替原来连续的空间4.2.1区域离散化的实质与内容(m,n)oyx(m-1,n)(m+1,n)(m,n-1)xxyy(m,n+1)EWNSP区域离散化后几何要素：界面节点元体网格线4.2.2节点方程的建立Taylor展开法各阶导数的差分表达式由Taylor级数展开而得；多项式拟合法控制容积平衡法将物理上的守恒方程直接应用于所研究的控制容积。4.3温度场内节点离散方程的建立【例】二维矩形域内稳态，常物性的导热问题。xyh1,tfh2,tfh3,tft0控制方程xynm(m,n)MN采

5、用均匀网格区域离散4.3.1Taylor展开法用节点(m,n)的温度tm,n来表示节点(m+1,n)的温度tm+1,n用节点(m,n)的温度tm,n来表示节点(m-1,n)的温度tm-1,n由(1)得：一阶差分格式若略去截断误差，则有截断误差（truncationerror）向前差分（forwarddiffence）一阶精度由(2)得：向后差分（backwarddiffence）由(1)-(2)得：中心差分（centraldiffence）同理：若将式(1)和式(2)相加：二阶差分格式中心差分（centraldiffence）同理可得：导热微分方程的离散差分方程：对于

6、传热问题，也称热平衡法Energybalancemethod。思路：节点有限差分方程式通过对围绕这个节点的控制体应用能量守恒获得。4.3.2控制容积平衡法(m,n)oyx(m-1,n)(m+1,n)(m,n-1)xxyy(m,n+1)WSNPE流入控制体的总热流量稳态二维内部节点(m,n)oyx(m-1,n)(m+1,n)(m,n-1)xxyy(m,n+1)wsnPe注：w,e,n,s表控制体界面(m,n)(m-1,n)(m+1,n)tm,ntm-1,ntm+1,n节点越多，假设的分段线性分布越接近真实的温度布。此时：型线选择内热源：(m,n)oyx(

7、m-1,n)(m+1,n)(m,n-1)xxyy(m,n+1)wsnPe离散方程【引申思考】所求节点的温度前的系数与相邻节点温度前的系数有定量关系吗？由离散方程可知，当Δx=Δy且无内热源时，【重要结论】所求节点的温度前的系数一定等于其他所有相邻节点温度前的系数之和。4.4.1平直边界上的节点ΔyΔxqwm,n+1m,n-1m-1,nm,nmn4.4边界节点离散方程的建立4.4.2外部角点xyqwqwm,n-1m,nm-1,n4.4.3内部角点m,nm-1,nm,n-1m,n+1yqwqwxm+1,n4.4.4边界热流密度不同情况分析绝热边界