第四章 热传导问题的数值解法.ppt

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1、第四章　热传导问题的数值解法§4-1导热问题数值求解的基本思想§4-2内节点离散方程的建立方法§4-3边界节点离散方程的建立及代数方程的求解§4-4非稳态导热问题的数值解法导热问题研究的目的热流量温度分布强化/减弱导热的措施导热问题研究的基本方法理论分析法数值计算法实验方法有限差分法分子动力学模拟法边界元法有限元法有限差分法的基本思想：用有限小的差分、差商近似代替无限小的微分、微商，用代数形式的差分方程近似代替微分方程，并通过求解差分方程求取有限时刻物体有限节点上的温度值。§4-1导热问题数值求解的基本思想数值计算方法的基本思想将

2、时间、空间坐标系中连续的物理量场，用有限离散点上数值的集合来代替，并通过求解离散点物理量组成的代数方程来求解，所得的解称为数值解。126345数值计算方法的优点：多维变物性复杂几何形状复杂边界§4-1导热问题数值求解的基本思想二维矩形域内稳态、无内热源、常物性的导热问题Step-1:控制方程及边界条件§4-1导热问题数值求解的基本思想二维矩形域内稳态、无内热源、常物性的导热问题Step-2:计算域离散化xynm(m,n)MN基本概念：网格线节点（内节点、边界节点）控制容积界面线步长均匀/非均匀网格§4-1导热问题数值求解的基本思想

3、二维矩形域内稳态、无内热源、常物性的导热问题Step-3:建立节点离散（代数）方程基本方法：Taylor（泰勒）级数展开法控制容积平衡法(热平衡法)内节点边界节点平直边界节点边界内节点边界外节点§4-1导热问题数值求解的基本思想Step-4:设置温度场的迭代初值代数方程组的求解方法有直接解法与迭代解法，传热问题的有限差分法中主要采用迭代法，对被求温度场预先设定一个解，这个解称为初场，并在求解过程中不断改进。Step-5:节点离散（代数）方程的求解除m=1的左边界上各节点的温度已知外，其余(M-1)N个节点均需建立离散方程，共有(M

4、-1)N个方程，则构成一个封闭的代数方程组。Step-6:解的分析如何判断数值解的准确性？三个检验标准：实验验证、精确分析解验证、特定问题的基准解验证数值计算中偏差ε总是存在的，增加节点数目可以减小误差。计算网格独立性。通过求解代数方程，获得物体中的温度分布，根据温度场应进一步计算通过的热流量，热应力及热变形等。§4-1导热问题数值求解的基本思想内节点离散方程的推导（泰勒级数展开法）1.对相邻节点写出温度t对内节点(m,n)的泰勒级数展开式x:(m,n)的相邻节点为(m+1,n),(m-1,n)y:(m,n)的相邻节点为(m,n+

5、1),(m,n-1)X方向§4-2内节点离散方程的建立方法内节点离散方程的推导（泰勒级数展开法）2.整理得到二阶导数的中心差分截断误差：级数余项中的Δx的最低阶数为2即中心差分格式具有二阶精度。3.由控制方程得到内节点(m,n)的离散代数方程中心差分§4-2内节点离散方程的建立方法内节点离散方程的推导（热平衡法）基本思想：对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从而获得温度场的代数方程组，它从基本物理现象和基本定律出发，不必事先建立控制方程，依据能量守恒和Fourier导热定律即可。从所有方向流入控制体的总热量＋控制体内热源生成热＝

6、控制体内能的增量稳态、无内热源时：从所有方向流入控制体的总热量＝0§4-2内节点离散方程的建立方法内节点离散方程的推导（热平衡法）(m,n)oyx(m-1,n)(m+1,n)(m,n-1)xxyy(m,n+1)对控制体每个界面线（图中虚线）应用傅立叶导热定律。§4-2内节点离散方程的建立方法§4-2内节点离散方程的建立方法建立节点离散方程的泰勒级数法与热平衡法的比较：泰勒级数法属于纯数学方法，而热平衡法基于能量守恒原理，物理概念明确，且推导过程简捷；泰勒级数法对于建立边界节点的离散方程较困难；当导热物体物性或内热源不均匀时

7、，泰勒级数法不适用，而热平衡法能够方便处理。§4-2内节点离散方程的建立方法节点离散方程的建立基本方法：Taylor（泰勒）级数展开法控制容积平衡法(热平衡法)内节点边界节点平直边界节点边界内节点边界外节点为什么要建立边界节点的离散方程？一类边界条件：方程组封闭，可直接求解二类、三类边界条件：边界温度未知，方程组不封闭将第二类边界条件及第三类边界条件合并起来考虑，用qw表示边界上的热流密度或热流密度表达式。用Φ表示内热源。§4-3边界节点离散方程的建立及代数方程的求解边界节点离散方程的推导（热平衡法）：二维矩形域内稳态、常物性的导

8、热问题从所有方向流入控制体的总热量＋控制体内热源生成热＝0平直边界节点§4-3边界节点离散方程的建立及代数方程的求解边界节点离散方程的推导（热平衡法）：二维矩形域内稳态、常物性的导热问题从所有方向流入控制体的总热量＋控制体内热源生成热＝0边界外角点