高等数学定积分及其计算教学.ppt

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1、第五章定积分及其应用第一节定积分及其计算第二节定积分在几何上的应用第三节定积分在物理上的应用第一节定积分及其计算一.定积分的概念与性质二.微积分基本公式本节主要内容:三.定积分的积分法四.反常积分一.积分的概念与性质(一)定积分问题举例1.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积A.显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯形面积.观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系.观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系.播幻灯片75放解决步骤:1)分割2)取近似3)求和4)取

2、极限解决步骤:1)分割在区间[a,b]中任意插入n–1个分点用直线将曲边梯形分成n个小曲边梯形;2)取近似在第i个窄曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得3)求和4)取极限令则曲边梯形面积2.变速直线运动的路程解决步骤:1)分割2)取近似3)求和4)取极限设某物体作直线运动,上连续,的路程s.已知速度在求在运动时间内物体所经过解决步骤:1)分割将它分成在每个小段上物体经2)近似得n个小段过的路程为2.变速直线运动的路程设某物体作直线运动,上连续,的路程s.已知速度在求在运动时间内物体所经过3)求和

3、4)取极限上述两个问题的共性:解决问题的方法步骤相同:“分割,近似,求和,取极限”所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限(二)定积分的概念定义5.1.1设函数f(x)在区间[a,b]上有定义,分割:任取分点把区间[a,b]分割成n个小区间[xi-1,xi],第i个小区间的长度为，记．近似:在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点i(i=1,2…n)求和：作和式取极限：当0时,若极限存在(这个极限值与区间[a,b]的分法及点i的取法无关)，则称函数f(x)在[a,b]上可积,并称这个极限为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作

4、,即积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和说明：1.闭区间上的连续函数是可积的;闭区间上只有有限个间断点的有界函数也是可积的．2.定积分是一个确定的常数，它取决于被积函数f(x)和积分区间[a,b]，而与积分变量使用的字母的选取无关，即有3.在定积分的定义中,有a

5、上方的半圆.因为单位圆的面积，所以半圆的面积为/2.思考(四)定积分的性质性质1性质2此性质可推广到有限多个函数之和的情况性质3(积分区间的可加性):对任意的点c，有不论a,b,c的相对位置如何,上式总成立.性质4如果被积函数f(x)=C(C为常数)，则特别地,当c=1时，有性质5(积分的保序性):如果在区间[a,b]上,恒有f(x)g(x),则例2比较定积分与的大小.因为在区间[0,1]上,有x2x3由定积分保序性质得性质6(积分估值定理)如果函数f(x)在区间[a,b]上有最大值M和最小值m,则MM(ba)my=f(x)f(x

6、)dxm(ba)Oxyab则f(x)在[-1,1]上的最小值为m=1/e,最大值为M=1，由定积分的估值性质，例3估计定积分的值.设令得驻点x=0，比较x=0及区间端点x=±1的函数值，有性质7(积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点x，使下式成立:exit性质8(对称区间上奇偶函数的积分性质)设f(x)在对称区间[-a,a]上连续，①如果f(x)为奇函数，则;②如果f(x)为偶函数，则.例如exit二.微积分基本公式在变速直线运动中,已知位置函数s(t)与速度函数之间有关系:考虑时

7、间间隔实际问题变速直线运动中路程为另一方面这段路程可表示为这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性.(一)积分上限函数积分上限函数:函数f(x)在[a,b]上的定积分(1)积分上限函数的自变量是上限x,与积分变量无关.(2)定理5.1.1如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则变上限积分函数在[a,b]上可导，且它的导数是f(x),即思考以下积分上限函数求导问题:例4计算例5计算例6计算例4计算例5计算例6计算说明：1.解决了原函数的存在性问题:[a,b]上的连续函数一定存在原函数,且(x)是f(x)的一个原函数这一基本结论.为寻找

8、定积分的计算方法提供了理论依据,(二)微积分基本公式(牛顿—莱布尼兹公式)定理5.1.2设f(x)在[a,b]上连续,且F(x)是f(x)原函数,则在计算定积分时,我们只要先求出