定积分及其计算方法

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1、一、与定积分概念有关的问题的解法1.用定积分概念与性质求极限2.用定积分性质估值3.与变限积分有关的问题机动目录上页下页返回结束例1.求解:因为时,所以利用夹逼准则得因为依赖于且1)思考例1下列做法对吗?利用积分中值定理原式不对!机动目录上页下页返回结束说明:2)此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项.如,P265题4解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和：已知利用夹逼准则可知(考研98)例2.求机动目录上页下页返回结束思考:提示:由上题机动目录上页下页返回结束故练习:1.求极限解：原式2.求极限提示：原式左边=右边机动目录上页下页返回结束例3.估计下列积分值

2、解:因为∴即机动目录上页下页返回结束例4.证明证:令则令得故机动目录上页下页返回结束例5.设在上是单调递减的连续函数，试证都有不等式证明：显然时结论成立.(用积分中值定理)当时,故所给不等式成立.机动目录上页下页返回结束明对于任何例6.解：且由方程确定y是x的函数,求方程两端对x求导,得令x=1,得再对y求导,得机动目录上页下页返回结束故例7.求可微函数f(x)使满足解:等式两边对x求导,得不妨设f(x)≠0,则机动目录上页下页返回结束注意f(0)=0,得机动目录上页下页返回结束例8.求多项式f(x)使它满足方程解:令则代入原方程得两边求导:可见f(x)应为二次多

3、项式,设代入①式比较同次幂系数,得故①机动目录上页下页返回结束再求导:二、有关定积分计算和证明的方法1.熟练运用定积分计算的常用公式和方法2.注意特殊形式定积分的计算3.利用各种积分技巧计算定积分4.有关定积分命题的证明方法思考:下列作法是否正确?机动目录上页下页返回结束例9.求解:令则原式机动目录上页下页返回结束例10.求解:机动目录上页下页返回结束例11.选择一个常数c,使解:令则因为被积函数为奇函数,故选择c使即可使原式为0.机动目录上页下页返回结束例12.设解:机动目录上页下页返回结束例13.若解:令试证:则机动目录上页下页返回结束因为对右端第二个积分令综

4、上所述机动目录上页下页返回结束例14.证明恒等式证:令则因此又故所证等式成立.机动目录上页下页返回结束例15.试证使分析:要证即故作辅助函数机动目录上页下页返回结束至少存在一点证明:令在上连续,在至少使即因在上连续且不为0,从而不变号,因此故所证等式成立.机动目录上页下页返回结束故由罗尔定理知,存在一点思考:本题能否用柯西中值定理证明?如果能,怎样设辅助函数?要证:提示:设辅助函数例15目录上页下页返回结束例16.设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且(1)在(a,b)内f(x)>0;(2)在(a,b)内存在点,使(3)在(a,b)内存在与相

5、异的点,使(03考研)机动目录上页下页返回结束证:(1)由f(x)在[a,b]上连续,知f(a)=0.所以f(x)在(a,b)内单调增,因此(2)设满足柯西中值定理条件,于是存在机动目录上页下页返回结束即(3)因在[a,]上用拉格朗日中值定理代入(2)中结论得因此得机动目录上页下页返回结束例17.设证:设且试证:则故F(x)单调不减,即②成立.②机动目录上页下页返回结束例1.求抛物线在(0,1)内的一条切线,使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解:设抛物线上切点为则该点处的切线方程为它与x,y轴的交点分别为所指面积机动目录上页下页返回结束且为最小点.故所

6、求切线为得[0,1]上的唯一驻点机动目录上页下页返回结束例2.设非负函数曲线与直线及坐标轴所围图形(1)求函数(2)a为何值时,所围图形绕x轴一周所得旋转体解:(1)由方程得面积为2,体积最小?即故得机动目录上页下页返回结束又(2)旋转体体积又为唯一极小点,因此时V取最小值.机动目录上页下页返回结束例3.证明曲边扇形绕极轴证:先求上微曲边扇形绕极轴旋转而成的体积体积微元故旋转而成的体积为机动目录上页下页返回结束故所求旋转体体积为例4.求由与所围区域绕旋转所得旋转体体积.解:曲线与直线的交点坐标为曲线上任一点到直线的距离为则机动目录上页下页返回结束例5.半径为R,密

7、度为的球沉入深为H(H>2R)的水池底,水的密度多少功?解:建立坐标系如图.则对应上球的薄片提到水面上的微功为提出水面后的微功为现将其从水池中取出,需做微元体积所受重力上升高度机动目录上页下页返回结束因此微功元素为球从水中提出所做的功为“偶倍奇零”机动目录上页下页返回结束例6.设有半径为R的半球形容器如图.(1)以每秒a升的速度向空容器中注水,求水深为为h(0

8、后容器内的