高等数学微积分 第三章 一元函数导数与微分.ppt

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1、第二章一元函数导数与微分2.1导数的概念2.2导数的计算2.3高阶导数2.4几种类型函数的求导方法2.5函数的微分与线性逼近2.1导数的概念一.导数的定义问题的提出1.切线问题割线的极限位置——切线位置1.切线问题割线的极限位置——切线位置1.切线问题割线的极限位置——切线位置1.切线问题割线的极限位置——切线位置1.切线问题割线的极限位置——切线位置1.切线问题割线的极限位置——切线位置1.切线问题割线的极限位置——切线位置1.切线问题割线的极限位置——切线位置1.切线问题割线的极限位置——切线位置1.切线问题割线的极

2、限位置——切线位置1.切线问题割线的极限位置——切线位置的极限位置,2.瞬时速度定义1导数的几何意义切线方程为:法线方程为:定义2（单侧导数，左右导数）右右左左定理1（双侧导数与单侧导数的关系）定理2（可导与连续的关系）证证毕例如：右可导左可导定理定义3注意:二.函数不可导的情况(定理)例:011/π－1/π定义1注意:定义2例1解例2解三.简单函数的导数例12.2导数的计算定理1（四则运算法则）注意:证(2)证毕例1同理可得同理可得定理2（反函数求导法则）即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.证证毕例2解同理可得定理3

3、（复合函数求导法则）即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)运用复合函数求导数法则的关键是正确地分析函数的复合关系.证证毕推广例3解例4解例5解同理可得注意:初等函数的导数仍为初等函数.例6解2.3高阶导数一.高阶导数的概念定义记作二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.从高阶导数的定义可以知道，二.高阶导数的计算例1解例2解注意:例3解例4解例5解例6解例7解例8解例9证证毕三.高阶导数的运算法则问题莱布尼兹公式（证明略）例10解例11解2.4几种类型函数的求导方法问题:隐函数

4、不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.一.隐函数的求导法定义:例1解解得例2解例3解二.对数求导法观察函数方法:先取对数,然后再求导----对数求导法适用范围:问题:如何求上述函数的导数?解先取对数，例4例5解两边先取对数，例6解两边取对数，三.参数方程所表示函数的求导法由复合函数与反函数的求导法则，有例7解所求切线方程为例8解四.相关变化率相关变化率问题:已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?求法：例9解仰角增加率）例10解水面上升之速率2.5函数的微分与线性逼近实例:正

5、方形金属薄片受热后面积的改变量.一.微分的概念定义定理（可微与可导的关系）证证毕结论:微分的几何意义T）(如图)以直代曲的思想是微积分的核心思想微分三角形二.微分的计算求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式2.函数和、差、积、商的微分法则3.复合函数的微分结论：一阶微分形式的不变性例1解1解2例2解例3解三.函数的一阶线性逼近常用近似公式例4解