高等数学一元函数的导数与微分

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1、第二章一元函数的导数与微分第一部分导数一、基本要求（1）理解导数的概念（包括左、右导数）导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系。（2）掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数的导数公式。会求分段函数的一阶和二阶导数。（3）了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数，掌握初等函数的二阶导数的求法。（4）会求隐函数和参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数。（5）会用导数描述一些简单的物理量。二、主要内容导数的意义导数定义几何意义物理意义经济意义左右导数定义可导与连续的关系可导的充要条件（左导＝右导）（1）四

2、则运算定义（2）复合函数的导数求导基本方法（3）隐函数求导法（4）对数导法（5）由参数方程确定的函数求导法（6）反函数求导法（7）定义或充要条件1．导数概念20设一元函数在点的某个邻域内有定义，若存在，则称在点处可导，并称此极限值为函数在点处的导数（微商）记作或如果极限不存在，称在点处不可导常见的导数定义式还有或导数是一个极限，相应于左右极限的概念有在处左右导数的概念左导数（极限存在）右导数（极限存在）充要条件：1．导数的几何意义一元函数在点导数在几何上表示曲线在点处的切线的斜率，从而曲线在点处的切线方程：法线方程：3.沿直线的运动设物

3、体在时刻的位置为,则(1)在时刻的速度(2)在时刻的速率（绝对速度，只有速度值，没有方向）(3)在时刻的加速度（度量物体的加速和减速有多“快”）(4)急推(在时刻加速度的突然改变)204．常见的求导方法选择何种求导方法由函数的具体构造有关。可以这样考虑：这些求导公式实际上是介绍如何利用几个基本初等函数求导公式求“一般函数”的处理方法,即如何将函数“简化”到可以用基本初等函数求导公式的方法,当然与函数的具体构成有关。（1）四则运算若均为可导函数,则(2)复合函数的导数设则复合函数的导数为（3）由方程所确定的隐函数的导数将方程两边分别对求导

4、,得一含有的等式,解出即可.(4)对数求导法（适用于“复杂的分式、乘积函数”和“幂指函数”的导数）这里要充分利用对数的运算性质使成为“简单”一些函数的和,乘积如(5)由参数方程确定的函数的导数(6)反函数的导数设与是一对反函数，则5．高阶导数的导数称为的二阶导数，的二阶导数的导数称为的三阶导数，20的阶导数的导数称为的阶导数，记为常用的几个基本初等函数的阶导数：三、重点与难点重点：导数的概念；导数的计算。难点：分段函数的导数；隐函数的高阶导数；由参数方程确定的函数的高阶导数；导数概念的应用。四、例题解析例1设函数在的一个邻域内有定义，是

5、变量在处的改变量。如果把作为函数在处的导数定义，问它们与定义是否等价？解（1）等价。因为导数定义中自变量的增量趋向于零是双侧的，包含两种变化过程，所以定义中的换成是等价的，即若极限存在，则此极限就是在点处的导数，因此时有（2）不等价。因为如果存在，则20即存在且等于。但反之不一定成立。事实上，是取以为中心的对称点处的函数值之差，它对处的函数值无任何要求，就是说存在与否跟处的函数值无关。这样，函数在处不连续，也有可能存在，例如函数在不连续，当然不可导,但有.例2我们知道，如果函数在处可导，那么在处必连续。但是在的充分小的邻域内是否也一定连

6、续呢？解不一定。这个问题的产生与对导数定义的理解有关，为此先回顾一下函数在处可导的定义：设在点的一个邻域内有定义，当自变量在处取得增量（点仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量。如果极限存在，则称函数在处可导，而此极限称为在点处的导数。由此定义可知，函数必在点的一个邻域内有定义，且可推出在处必连续。但得不到在点的邻域内连续的结论。下面举一个仅在一点处连续且可导的例子。设函数，仅在处可导。从而必连续。但是在处不连续，自然也不可导。这清楚地告诉我们：函数在一点的导数仅仅反映函数在该点处的性质。例3设函数，当时，于是20因为（1）在处无意义，所

7、以在处不可导，或（2）因为不存在，所以在处不可导。问以上这两种分析对吗？解都不对。（1）仅在时求得的，不能用它在无定义处就去判定不可导。（2）由于极限值与函数值没有必然关系，因此由不存在而推出不存在，这也是没有根据的。事实上因为，所以例4设函数在处可导，则下述结论是否正确，计算方法是否对？解结论正确，解题过程中有三处概念错误。（1）在导数定义中，应该是常数，是变量，故不是在处的导数。（2）算式是错误的，（3）算式需要在点连续的条件，题设中无此条件。例5已知函数处可导，而在处可导，那么复合函数在处可导，这是所熟知的链式求导法，如果处，与在

8、处两函数中至少有一个不可导，问复合函数是否在处一定不可导？答链式法则中对和的假设的条件都是充分条件而非必要的。（1）例如，在处不可导，在处可导，复合函数在处可导。（2）如，在处可导，在20处不可导，复合函数