一元函数导数与微分

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1、基础模块第三章一元函数导数与微分教学目的：1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。4、会求分段函数的导数。5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。6、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。7

2、、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。8、会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。9、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。10、知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。11、知道方程近似解的二分法及切线性。教学重点：1、导数和微分的概念与微分的关系；2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；3、基本初等函数的导数公式；4、高阶导数；5、隐函数和由参数方程确定的函数的导数；6、罗尔定理、拉格朗日中值定理；7、函数的极值，判断函数的单调性和求函

3、数极值的方法；8、函数图形的凹凸性；9、洛必达法则。教学难点：1、复合函数的求导法则；2、分段函数的导数；3、反函数的导数；4、隐函数和由参数方程确定的导数；5、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用；6、极值的判断方法；7、图形的凹凸性及函数的图形描绘；8、洛必达法则的灵活运用。27基础模块3.1导数的引入3.1.1导数定义问题引入：一.直线运动的速度，切线问题1.直线运动的速度先建立坐标系：设某点沿直线运动，在直线上引入原点和单位点（即表示实数1的点），使直线成为数轴.此外，再取定一个时刻作为测量时间的零点，设动点于时刻在直线上的位置的坐标为（简称位置），运动完全由位置函数所确

4、定.位置函数：（1）从时刻到时刻的一个时间间隔，有平均速度为：（2）时间间隔较短，比值在实践中可用来说明动点在时刻的速度，但动点在时刻的速度的精确概念还得让，即：（3）极限值叫做动点在时刻的（瞬时）速度，给出了求瞬时速度的方法.2.曲线的切线建立直角坐标系，函数的图形为曲线，分析切线的定义，就得曲线上任一点处的切线的斜率为：（4）如图3-1,割线斜率的极限就是切线的斜率.图3-127基础模块二.导数的定义1.函数在一点处的导数与导函数非匀速直线运动的速度和切线的斜率都可以归为一般数学形式：（5）此处的和的分别是函数的自变量的增量和函数的增量,式（5）写成：（6）由它们在数量关

5、系上的共性，就得出函数的导数的概念.2.导数的定义定义3.1设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在处取得增量（点仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量；如果与之比当时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为，或者记为即（7）函数在点处可导有时也说成在点具有导数或导数存在.导数的定义也可取不同的形式，常见的有：（8）（9）在实际中，需要讨论有不同意义的变量的变化“快慢”问题，在数学上就是所谓函数的变化率问题.导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述.3.函数在一点处不可导的定义定义3.2如果式（7）的极限不存在，就说函数在点处不可导.如果，当时，比值

6、时，就说函数在点处的导数为无穷大（此时函数不可导）,如函数在点处不可导.4.导函数的定义27基础模块定义3.3如果函数在区间内的每点处都可导，就称函数在区间内可导.对任意都对应着的一个确定的导数值，这样就构成了一个新的函数，这个函数叫做函数的导函数，记作：（10）由式（7）、式（8）得（11）导函数简称导数，而是在处的导数或导数在点处的值.三.函数求导的一般步骤1.函数求导的步骤第一步根据定义3.3写出式（11）的形式.第二步把具体函数带入进行计算.2.一些简单函数的求导.例1求的导数.解.例2求的导数.解.例3求函数f(x)=sinx的导数.解f¢(x).即(sinx)¢=

7、cosx.用类似的方法,可求得(cosx)¢=-sinx.27基础模块3.1.2导数的几何意义由切线问题的讨论知，函数在点处的导数在几何上表示曲线在点处的切线的斜率，即曲线在点处的切线方程为曲线在点处的法线方程为例4求等边双曲线在点处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程.解根据导数的几何意义，得切线的斜率为切线方程为法线的斜率为法线方程为例5求曲线的通过点的切线方程.解设切点的横坐标为则切线的斜率为.于是所求切线的方程可设为.27基础模块根据题目要求,点(0,-4)在切线上,因此,解之得x0