高中数学 第一章 空间几何体 1.3 空间几何体的表面积与体积学案 新人教A版必修2.doc

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1、1.31．3.1　柱体、锥体、台体的表面积与体积预习课本P23～27，思考并完成以下问题1．棱柱、棱锥、棱台的表面积如何计算？2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么？3．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式是什么？4．柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？5．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式、体积公式之间分别有怎样的关系？　　　　1．柱体、锥体、台体的表面积公式图形表面积公式多面体多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积旋转体圆柱底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝2πrl表面积：S＝2πrl＋2πr2圆锥底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝πrl表面积：S＝πrl＋π

2、r2圆台上底面面积：S上底＝πr′2下底面面积：S下底＝πr2侧面积：S侧＝πl(r＋r′)表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)2．柱体、锥体、台体的体积公式柱体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)；锥体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)；台体的体积公式V＝(S′＋＋S)h.[点睛]　(1)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系：1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)锥体的体积等于底面面积与高之积(　　)(2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差(　　)答案：(1)×　(2)√2．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长

3、为a时，该三棱锥的表面积是(　　)A.a2　　　　　　B.a2C.a2D.a2解析：选A　∵侧面都是等腰直角三角形，故侧棱长等于a，∴S表＝a2＋3××2＝a2.3．若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的体积是________．解析：由已知圆锥的高h＝4，所以V圆锥＝π×32×4＝12π.答案：12π柱、锥、台的表面积[典例]　现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积．[解]　如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，对角线A1C＝15，B1D＝9，∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，∴a2＝200，b2＝56.∵

4、该直四棱柱的底面是菱形，∴AB2＝2＋2＝＝＝64，∴AB＝8.∴直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160.(1)求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本几何体，再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积．(2)结合三视图考查几何体的表面积是高考的热点，解决此类问题的关键是正确地观察三视图，把它还原为直观图，特别要注意从三视图中得到几何体的相关量，再结合表面积公式求解．　　　　　　[活学活用]1．(陕西高考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)A．3π　　　　　　　　

5、B．4πC．2π＋4D．3π＋4解析：选D　由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示．表面积为2×2＋2××π×12＋π×1×2＝4＋3π.2．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为(　　)A．81πB．100πC．168πD．169π解析：选C　先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解．圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为l＝＝＝5r＝10，所以r＝2，R＝8.故S侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.柱体、锥

6、体、台体的体积[典例]　一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)A．2π＋2B．4π＋2C．2π＋D．4π＋[解析]　该空间几何体由一圆柱和一正四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，四棱锥的底面边长为，高为，所以体积为×()2×＝，所以该几何体的体积为2π＋.[答案]　C空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)求简单几何体的体积．若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解．(2)求以三视图为背景的几何体的体积．应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．　　　　　　[活学活用]1．已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4

7、π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是________．解析：设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，高为h，则S上＝πr2＝π，S下＝πR2＝4π，∴r＝1，R＝2，S侧＝π(r＋R)l＝6π，∴l＝2，∴h＝，∴V＝π(12＋22＋1×2)×＝π.答案：π2.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于________．解析：根据三视图，可知题中的几何体是由一个三棱柱削去一个三棱锥得到的，体积V＝×3×4×5－××4×3×3＝24.答案：24几何体体积的求法题点一：等积变换法1.如图所示，正方体ABCDA1B1C