2019年高考数学一轮复习 第6章 不等式、推理与证明 第6节 数学归纳法学案 理 北师大版.doc

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1、第六节　数学归纳法[考纲传真]　(教师用书独具)1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(对应学生用书第104页)[基础知识填充]1．数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)验证：当n取第一个值n0(如n0＝1或2)时，命题成立．(2)在假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时，命题成立．根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立．2．数学归纳法的框图表示图611[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正

2、误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．(　　)(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．(　　)(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．(　　)(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．(　　)(5)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√2．已

3、知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…－＝2时，若已假设n＝k(k≥2，且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证(　　)A．n＝k＋1时等式成立　B．n＝k＋2时等式成立C．n＝2k＋2时等式成立D．n＝2(k＋2)时等式成立B　[k为偶数，则k＋2为偶数．]3．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于(　　)A．1　　　B．2　　　　　C．3　　　　　D．0C　[因为凸n边形最小为三角形，所以第一步检验n等于3，故选C.]4．(教材改编)已知{an}满足an＋1＝a－

4、nan＋1，n∈N＋，且a1＝2，则a2＝__________，a3＝__________，a4＝__________，猜想an＝__________.[答案]　3　4　5　n＋15．用数学归纳法证明：“1＋＋＋…＋1)”由n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项的项数是__________．2k　[当n＝k时，不等式为1＋＋＋…＋

5、设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)．求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N＋)．[证明]　(1)当n＝2时，左边＝f(1)＝1，右边＝2＝1，左边＝右边，等式成立．(2)假设n＝k(k≥2，k∈N＋)时，结论成立，即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，那么，当n＝k＋1时，f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)·f(k)－k＝(k＋1)－k＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1

6、)－1]，所以当n＝k＋1时结论仍然成立．由(1)(2)可知：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N＋)．[规律方法]　数学归纳法证明等式的思路和注意点(1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少.(2)注意点：由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程.易错警示：不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法.[跟踪

7、训练]　求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N＋).【导学号：】[证明]　(1)当n＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立；(2)假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)，那么当n＝k＋1时，左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k＋1)＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2＝2k＋1·1·3·5·…·(

8、2k－1)(2k＋1)，所以当n＝k＋1时等式也成立．根据(1)(2)可知，对所有n∈N＋等式成立．用数学归纳法证明不等式　(2017·武汉调研)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知对任意的n∈N＋，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b＞0，且b≠1，b，r均为常数)的图像上．(1)求r的值；(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N＋)．证明：对任意的n∈N＋，不等