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《2019版高考数学一轮复习第11章算法、复数、推理与证明115数学归纳法学案理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、11.5数学归纳法考纲要求探关考纲解读1.r解数学
2、丿I纳法的原理.能用数学ui纳法证明一些简单的命题.2.数学归纳法的主要作用是证明与自然数有关的不等式及数列有关的问题.考向预测从近三年高考帖况来看.对本讲并没冇“•接涉及，半遇到纭正棉数“冇关的不等式证明时.其他方法不易证时，可以考虑用数学归纳法进行证明求解.E基础知识卧［知识梳理］数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数刀有关的命题，可按下列步骤进行：1.（归纳奠基）证明当/7取笫一个值处S£NO时命题成立；2.（归纳递推）假设2灿，圧N"）时命题成立，证明当n
3、=k+时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从久开始的所有正整数/?都成立，上述证明方法叫做数学归纳法.［诊断自测］1.概念思辨（1）用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当刀=1时结论成立.（）⑵不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明吋，由n=k到刀=&+1吋，项数都增加了一项.（）4I2（3）用数学归纳法证明等式：1+2+3+・・・+/=仝于（用NJ时，从n=k至IJ刀=&+1左边应添加的项为（k+1）2.（）⑷用数学归纳法证明等式“1+2+F+…+2十=2”+3-1”，验证〃=1时,左边式子应为1+
4、2+22+23.（）答案⑴X（2）X（3）X（4）V2.教材衍化（1）（选修A2-2P99B组TJ在应用数学归纳法证明凸刀边形的对角线为》（〃一3）条时，第一步检验刀等于（）A.1B.2C.3D.4答案C解析三角形是边数最少的凸多边形，故笫一步应检验/7=3.故选C.111127（2）（选修A2—2P96Ti）用数学归纳法证明不等式1+刁+&尹7＞囲■（刀GN"）成立时，其初始值至少应取（）A.7B.8C.9D.10答案B1_丄Ii[2"]解析左边=1+空+&7prr==2—yr,代入验证可知刀的最小值是&故选1_2
5、B.1.小题热身⑴己知丄+£+亠;+・・・+4,贝1
6、()nn+in+2nA.f(/7)屮共有/7项，当77=2时，f(2)=*+£B.fS)屮共有刀+1项，当n=2时，f(2)=*+*+#C.f(〃)中共有n~n项，当77=2时，f(2)=£+*D.fS)中共有n~n+1项，当刀=2时，f(2)=*+*+#答案D解析分母为首项为刀，公差为1的等差数列，故代方共有rf~n+1项，当/7=2时，+=*,7=1，故A2)=
7、+
8、+
9、故选D.(2)用数学归纳法证明“当77为正奇数时，Z+/能被x+y整除”，当第二步假设77
10、=2W—1(«WN*)命题为真时，进而需证刀=时，命题亦真.答案2&+1解析由于步长为2,所以2斤一1后一个奇数应为2W+1.0经典题型1巾关题型1用数学归纳法证明恒等式典例求证：1—*+»*+•••+注厂棊士?+忌+・“+知”勿)•证明⑴当刀=1时，左边=1—£=*，右边=y~{=2'左边=右边.⑵假设“=*时等号成立，即—尹§一&2A—1_以=&+1+&+22k'则当n=k+时，1_丄+丄_丄+・・・+丄—丄+(丄_亠=丄+丄+・・•+丄+2342斤一12k2k+2k+2)&+1十&+2十2k2A+12A
11、+2=+HF+k+2k+32k+l2k+2'即当n=k+1时，等式也成立.综合(1)(2)可知，对一切等式成立.方法技巧数学归纳法证明等式的思路和注意点1.思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值处是多少.2.注意点：由n=k时等式成立，推n=k+1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程.提醒：归纳假设就是证明n=k+1时命题成立的条件，必须用上，否则就不是数学归纳法.冲关针对训练用数学归纳
12、法证明.丄一+」一+」一[•i=—-—(荘中川姒子门申仏血力.2X4〒4X66X8^2zt(2z7+2)4(卄1)W1八证明⑴当门=1时，等式左边=夕蓟=右等式右边=詁门=£・・・等式成立・(2)假设n=k^,时等式成立.111k即…+2«2&+2)=4伙+1)成那么当n=k+lHt,2X4+4X6+6X84卜2«2£+2)+2伙+1)[2伙+1)+2]4(&+1)4(A+l)(A+2)_A(斤+2)+1_(斤+1)'=4伙+1)(斤+2)=4(斤+1)(斤+2)k+=4[伙+1)+1]'即刀=£+1时等式成立.
13、由(1)(2)可知，对任意等式均成立.题型2用数学归纳法证明不等式典例已知数列｛禺｝,当刀22时，Z?n<—1,又日1=0,£+1+&“+1—1=金求证：当刀WN*时，<3卄Kn“证明(1)当n=l时，满足£+边_1=0,且也〈0,••日1>也・(2)假设当刀=&(圧NJ时，如*.*£+1—£=(禺+2—越+】)(5A+2+越+1+1)，禺+1
