2019版高考数学一轮复习 第11章 算法、复数、推理与证明 11.5 数学归纳法学案 理

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1、11.5　数学归纳法[知识梳理]数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：1．(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；2．(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，上述证明方法叫做数学归纳法．[诊断自测]1．概念思辨(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．(　　)(2)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．(　　)(3)用数学归纳法证明等式：1＋2＋3＋…＋n

2、2＝(n∈N*)时，从n＝k到n＝k＋1左边应添加的项为(k＋1)2.(　　)(4)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．教材衍化(1)(选修A2－2P99B组T1)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于(　　)A．1B．2C．3D．4答案　C解析　三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n＝3.故选C.(2)(选修A2－2P96T1)用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋>(n∈N*)成立时，其初始值至少应取(　　)A．7B

3、．8C．9D．10答案　B解析　左边＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入验证可知n的最小值是8.故选B.3．小题热身(1)已知f(n)＝＋＋＋…＋，则(　　)A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋答案　D解析　分母为首项为n，公差为1的等差数列，故f(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，＝，＝，故f(2)＝＋＋.故选D.(2)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N

4、*)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．答案　2k＋1解析　由于步长为2，所以2k－1后一个奇数应为2k＋1.题型1　用数学归纳法证明恒等式　　求证：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N*)．证明　(1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝＝.左边＝右边．(2)假设n＝k时等号成立，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，则当n＝k＋1时，1－＋－＋…＋－＋＝＋＋…＋＋＝＋＋…＋＋.即当n＝k＋1时，等式也成立．综合(1)(2)可知，对一切n∈N*，等式成立．方法技巧数学归纳法证明等式的思路和注意点1．思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有

5、多少项，初始值n0是多少．2．注意点：由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程．提醒：归纳假设就是证明n＝k＋1时命题成立的条件，必须用上，否则就不是数学归纳法．冲关针对训练用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＝(其中n∈N*)．证明　(1)当n＝1时，等式左边＝＝，等式右边＝＝，∴等式成立．(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立．即＋＋…＋＝成立，那么当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋＝＋＝＝＝，即n＝k＋1时等式成立．由(1)(2)可知，对任意n∈N*等式均成立．题型2　用数学归纳法证

6、明不等式　　已知数列{an}，当n≥2时，an<－1，又a1＝0，a＋an＋1－1＝a，求证：当n∈N*时，an＋1a2.(2)假设当n＝k(k∈N*)时，ak＋10.又ak＋2＋ak＋1＋1<－1＋(－1)＋1＝－1，∴ak＋2－ak＋1<0，∴ak＋2

7、整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．2．关键：用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明．冲关针对训练已知函数f(x)＝ax－x2的最大值不大于，又当x∈时，f(x)≥.(1)求a的值；(2)设0