2018版高中数学 第二章 函数 5 简单的幂函数（一）学案 北师大版必修1.doc

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1、§5简单的幂函数(一)学习目标1.理解幂函数的概念(重点)；2.学会以简单的幂函数为例研究函数性质的方法(重点)；3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数有关问题(重、难点)．预习教材P49－50完成下列问题：知识点一幂函数的定义α如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量α，即y＝x，这样的函数称为幂函数．【预习评价】α1．任意一次函数和二次函数都是幂函数吗？若函数y＝mx是幂函数，m应满足什么条件？2提示并不是所有一次函数和二次函数都是幂函数，只有其中的y＝x和y＝x是幂函α数．若y＝mx是幂函数，则必有m＝1．2．幂函数与指数

2、函数有何区别？α提示幂函数与指数函数不同点在于：幂函数形式为y＝x(α∈R)，其自变量x处于x底数位置，常数α处于指数位置；而指数函数形式为y＝a(a>0且a≠1)，其自变量x处于指数位置，常数a处于底数位置，且a须满足大于0而且不等于1．知识点二简单的幂函数的图像和性质123－1幂函数y＝xy＝xy＝xy＝xy＝x2图像(－∞，0)∪(0，＋定义域RRR[0，＋∞)∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y

3、y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇x∈[0，＋∞)x∈(0，＋∞)减，单调性增增，x∈(－增增x∈(－∞，0)减∞，0]减定点(1,1)续表【预习评价

4、】α幂函数y＝x在区间(0，＋∞)上为增函数时，α满足的条件是什么？在区间(0，＋∞)上为减函数时，α满足的条件是什么？α提示当α>0时，y＝x在(0，＋∞)上为增函数；α当α<0时，y＝x在(0，＋∞)上为减函数．题型一幂函数的概念【例1】(1)已知(2，2)在幂函数f(x)的图像上，求f(2)的值；22a－5a＋5(2)已知函数f(x)＝(a－3a＋3)x(a为常数)为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，求实数a的值．α解(1)设f(x)＝x，∵(2，2)在f(x)的图像上，α∴f(2)＝(2)＝2，∴α＝2．22故f(x)＝x，f(2)＝2＝4．2(2)∵

5、f(x)为幂函数，∴a－3a＋3＝1，得a＝1或a＝2．当a＝1时，f(x)＝x，在(0，＋∞)上单调递增，不合题意．－1当a＝2时，f(x)＝x，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意．综上，得a的值为2．规律方法(1)幂函数的特点：系数为1，底数为自变量，指数为常数．(2)当α>0时，幂函数在第一象限内单调递增；当α<0时，幂函数在第一象限内单调递减．22m＋m－3【训练1】函数f(x)＝(m－m－1)x是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．解根据幂函数定义得，2m－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，3当m＝2时，f(x)＝x在

6、(0，＋∞)上是增函数，－3当m＝－1时，f(x)＝x在(0，＋∞)上是减函数，不合题意．3∴f(x)的解析式为f(x)＝x．题型二幂值大小的比较问题【例2】比较大小．11(1)1.5，1.7；2233(2)(－1.2)，(－1.25)；－1,－1(3)5.255.26．1解(1)因为函数y＝x在(0，＋∞)上是增函数，211且1.5<1.7，所以1.5<1.7．22333(2)因为函数y＝x在R上是增函数，且－1.2>－1.25，所以(－1.2)>(－1.25)．－1(3)因为函数y＝x在(－∞，0)和(0，＋∞)是递减函数，－1－1所以5.25>5.26．规

7、律方法比较幂值大小的三种思路(1)若指数相同，底数不同，则考虑幂函数．(2)若指数不同，底数相同，则考虑指数函数．(3)若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，使这个数的底数与所比较数的一个底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小．2327111－0【训练2】把3，5，5，6，按从小到大的顺序排列____________．32272210－0解析6＝1，3>3＝1，332115<1，5<1．221因为y＝x为增函数．223721110－所以5<5<6<3．22323721110－答案5<5<6<3223典例题型三幂函数的图

8、像与性质迁移12，α【例3】已知幂函数f(x)＝x的图像过点P4，试画出f(x)的图像并指出该函数的定义域与单调区间．12，11αα解因为f(x)＝x的图像过点P4，所以f(2)＝，即2＝，得α＝－2，即f(x)44－2＝x，f(x)的图像如图所示，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调减区间为(0，＋∞)，单调增区间为(－∞，0)．112，8，【迁移1】(变换条件)本例中的条件“过点P4”若换为过点P4，试写出该函数的定义域、单调区间．1α12解因为f(8)＝，所以8＝，即α＝－，44321－故f(x)＝x＝，332x32由x≠0得x≠0，所以f(x)的定义

9、域为(－∞，0)∪(0，