2018版高中数学北师大版必修一学案第二章 5 简单的幂函数（一）

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1、2017-2018学年高中数学北师大版必修1学案学习目标　1.理解幂函数的概念.2.学会以简单的幂函数为例研究函数性质的方法.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数有关问题．知识点一　幂函数的概念思考　y＝，y＝x，y＝x2三个函数有什么共同特征？　　梳理　如果一个函数底数是自变量x，指数是常量α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．知识点二　幂函数的图像与性质思考　如图在同一坐标系内作出函数(1)y＝x；(2)；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图像．填写下表：y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1定义域值域单调性增在[0，＋∞)上

2、在(0，＋∞)上82017-2018学年高中数学北师大版必修1学案______，在(－∞，0]上____________，在(－∞，0)上______梳理　根据上表，可以归纳一般幂函数特征：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图像都过点________；(2)α>0时，幂函数的图像通过________，并且在区间[0，＋∞)上是________函数．特别地，当α>1时，幂函数的图像下凸；当0<α<1时，幂函数的图像上凸；(3)________时，幂函数的图像在区间(0，＋∞)上是减函数；(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图像关于直线y＝x对称；(5)在第一

3、象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图像相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从________到________的顺序排列．类型一　幂函数的概念例1　已知y＝(m2＋2m－2)＋2n－3是幂函数，求m，n的值．　　　　反思与感悟　只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x，指数为常量这三个条件，才是幂函数．如：y＝3x2，y＝(2x)3，y＝4都不是幂函数．跟踪训练1　在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为(　　)A．0B．1C．2D．3类型二　幂函数的图像及应用例2　若点(，2)在幂函数f(x)的图像上，点(2，)在幂函数g(x)的图像上

4、，问当x为何值时，(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)1和α<0三种情况讨论．跟踪训练2　幂函数y＝xα(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图像是一簇美丽的曲线(如图)．设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图像三等分，即有BM＝MN＝NA.那么αβ等于(　　)A．1B．2C．3D．无法确定类型三　幂函数性质例

5、3　探讨函数f(x)＝的单调性．　　　　　　反思与感悟　研究函数单调性要先研究函数定义域．幂函数的定义域主要受两个因素影响：偶次根式被开方数不小于零；分式的分母不为零．跟踪训练3　已知幂函数f(x)＝(m∈N＋)．试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性．　　82017-2018学年高中数学北师大版必修1学案　　　例4　(1)比较，的大小．　　　　　　(2)若(a＋1)<(3－2a)，则a的取值范围是________．反思与感悟　应用幂函数性质比大小解不等式，首先是根据研究目标的特征构造幂函数，其次是根据所构造的幂函数性质如定义域、单调性来解决问题．跟踪训练4　

6、(1)比较，，的大小．(2)若幂函数f(x)＝(m∈N＋)过(2，)，解不等式f(2－a)>f(a－1)．　　　　82017-2018学年高中数学北师大版必修1学案1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图像过点，则k＋α等于(　　)A.B．1C.D．22．已知幂函数f(x)的图像经过点(2，)，则f(4)的值等于(　　)A．16B.C．2D.3．设α∈{－1,1，，3}，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为(　　)A．1,3B．－1,1C．－1,3D．－1,1,34．下列是的图像的是(　　)5．以下结论正确的是(　　)A．当α＝0时，函数y＝xα的图像是一条直线B．幂函数的

7、图像都经过(0,0)，(1,1)两点C．若幂函数y＝xα的图像关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大D．幂函数的图像不可能在第四象限，但可能在第二象限1．幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准．2．幂函数y＝xα的图像与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α>0时，图像过(0,0)，(1,1)在第一象限的图像上升；α<0时，图像不过原点，在第一象限的图像下降，反之也成立．(2