2018版高中数学 第二章 函数 5 简单的幂函数（二）学案 北师大版必修1.doc

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1、§5　简单的幂函数(二)学习目标　1.理解函数奇偶性的定义；2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法；3.会应用奇、偶函数图像的对称性解决简单问题．预习教材P49－50完成下列问题：知识点一　函数奇偶性的几何特征一般地，图像关于y轴对称的函数称为偶　函数，图像关于原点对称的函数称为奇　函数．【预习评价】观察下列函数图像，判断函数的奇偶性．答案　①②关于y轴对称，所以①②对应函数为偶函数．③④关于原点对称，所以③④对应函数为奇函数．知识点二　函数的奇偶性1．奇函数的定义一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数，在奇函数f(x)中，f(x)和f

2、(－x)的绝对值相等，符号相反，即f(－x)＝－f(x)　.反之，满足f(－x)＝－f(x)的函数y＝f(x)一定是奇函数．注意：奇函数的定义域一定关于原点　对称．2．偶函数的定义一般地，图像关于y轴对称，像这样的函数叫作偶函数．在偶函数f(x)中，f(x)和f(－x)的值相等，即f(x)＝f(－x)；反之，满足f(x)＝f(－x)的函数y＝f(x)一定是偶函数．注意：偶函数的定义域一定关于原点　对称．3．当一个函数是奇函数或偶函数时，称该函数具有奇偶性　．【预习评价】1．若对定义域内的任意x都有f(－x)＋f(x)＝0或＝－1(f(

3、x)≠0)，则对应的函数是不是奇函数？提示　根据奇函数的定义知，满足这两种对应关系的函数都是奇函数．2．若函数图像关于原点对称，则该函数是不是奇函数？提示　根据函数的图像特征，结合奇函数的定义知该函数是奇函数．知识点三　奇偶性与单调性一般地，(1)若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是增　函数，且有最小值－M　．(2)若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则f(x)在(0，＋∞)上是增函数　．(3)知道了函数的奇偶性，我们可以先研究函数的一半，再利用对称性了解其另一半，从而减少工作量．

4、【预习评价】1．判断函数y＝x2和y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性的特点．提示　y＝x2是偶函数，在(0，＋∞)上是增函数，∴y＝x2在(－∞，0)上是减函数，∴y＝x2在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调性相反．y＝是奇函数，在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调性相同．2．结合教材P50例2你认为应怎样判断函数的奇偶性？提示　第一步：求定义域并判断是否关于原点对称．第二步：若定义域关于原点对称则求f(－x)并判断是否等于f(x)或－f(x)．第三步：若f(－x)＝－f(x)，则f(x)是奇函数，若f(－x)＝f(x)，则f(x

5、)是偶函数，若定义域不关于原点对称或f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)不具有奇偶性．题型一　函数奇偶性的判断【例1】　判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝x2＋；(2)f(x)＝＋；(3)f(x)＝；(4)f(x)＝解　(1)函数的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，故函数不具有奇偶性．(2)由⇒x2＝1⇒x＝±1．所以f(x)＝0，又定义域关于原点对称，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)函数f(x)＝的定义域为[－1,0)∪(0,1]．由

6、x＋2

7、－2＝x，所以f(x)＝，因为f(－x)＝－＝－f(x

8、)，所以f(x)为奇函数．(4)分段画出其图像如图所示，由于图像关于原点对称，所以函数f(x)为奇函数．规律方法　判断函数奇偶性的两种常用方法(1)定义法①确定函数的定义域．②看定义域是否关于原点对称，(ⅰ)不对称，则函数不具有奇偶性；(ⅱ)对称(2)图像法画出函数的图像，直接利用图像的对称性判断函数的奇偶性．【训练1】　判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝x2(x2＋2)；(2)f(x)＝x

9、x

10、．解　(1)函数的定义域为R，又因为f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．(2)函

11、数的定义域为R，又因为f(－x)＝－x

12、－x

13、＝－x

14、x

15、＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．题型二　利用奇偶性求解析式【例2】　已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x．(1)求出函数f(x)在R上的解析式．(2)画出函数f(x)的图像．解　(1)由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0；当x<0时，－x>0，因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，综上，f(x)＝(2)图像如图．规律方法　根据函数奇偶性求解析

16、式的三个步骤(1)设：要求哪个区间的解析式，x就设在哪个区间里．(2)代：利用已知区间的解析式代入进行推导．(3)转：根据f(x)的奇偶性把f(－x)写成－f(x)或f(x)，从而解出f(x)．提醒　利用奇偶性求解析式时