2018版高中数学 第三章 直线与方程 3.1 3.1.1 倾斜角与斜率学案 新人教A版必修2.doc

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1、3.1.1　倾斜角与斜率目标定位　1.理解直线的倾斜角的定义，掌握直线倾斜角的范围.2.理解直线的斜率，掌握过两点的直线的斜率公式.能利用斜率解决具体问题.3.掌握直线斜率和倾斜角之间的关系：k＝tanα＝.自主预习1.直线的倾斜角(1)定义：一条直线l与x轴相交，我们取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.一条直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)取值范围：0°≤α<180°.2.直线的斜率定义倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，记为k，即k＝tan__α.取值范围当α＝0

2、°时，k＝0；当0°<α<90°时，k>0；当90°<α<180°时，k<0；当α＝90°时，斜率不存在.3.斜率公式直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率k＝(其中x1≠x2).即时自测1.判断题(1)所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率.(√)(2)直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα.(×)(3)直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α.(×)(4)一条直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则直线的斜率k＝.(×)提示　(2)当α＝90°时，直线的斜率不存在.(3)当0°≤α＜180°时，α才

3、是此直线的倾斜角.(4)当x1≠x2时，k＝，当x1＝x2时，k不存在.2.下图中α能表示直线l的倾斜角的是(　　)A.①B.①②C.①③D.②④解析　结合直线l的倾斜角的概念可知①可以，选A.答案　A3.已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为(　　)A.B.C.1D.解析　由题意可知，k＝tan30°＝.答案　A4.过点P1(3，－1)和P2(4，2)的直线的斜率k＝________.解析　k＝＝3.答案　3类型一　直线的倾斜角【例1】设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角

4、为(　　)A.α＋45°B.α－135°C.135°－αD.当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°解析　根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意.通过画图(如图所示)可知：当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.答案　D规律方法　1.解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答.2.求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，

5、找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论.【训练1】一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(　　)A.αB.180°－αC.180°－α或90°－αD.90°＋α或90°－α解析　如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.答案　D类型二　直线的斜率【例2】已知直线l过P(－2，－1)，且与以A(－4，2)，B(1，3)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围.解　根据题中的条件可画出图形，如图所示，又可得直线PA的斜率kPA＝

6、－，直线PB的斜率kPB＝，结合图形可知当直线l由PB变化到与y轴平行的位置时，它的倾斜角逐渐增大到90°，故斜率的取值范围为，当直线l由与y轴平行的位置变化到PA位置时，它的倾斜角由90°增大到PA的倾斜角，故斜率的变化范围是.综上可知，直线l的斜率的取值范围是∪.规律方法　(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tanα(α≠90°)解决(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝(x1≠x2)求解.(3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解.【训练2】已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB

7、有公共点.(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.解　如图所示，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1.(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1，或k≥1.(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.类型三　斜率公式的应用(互动探究)【例3】已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求的最大值和最小值.[思路探究]探究点一　y＝－2x＋8，且2≤x≤3与的几何意义是什么？提示　

8、y＝－2x＋8，且2≤x≤3表示一线段AB，其中A(2，4)，B(3，2)；表示点(x，y)与点(0，0)连