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时间:2020-06-23
《2018版高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.1 单调性与最大(小)值(第1课时)函数的单调性学案 新人教A版必修1.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大(小)值第1课时 函数的单调性1.理解函数的单调性及其几何意义,能运用函数图象理解和研究函数的单调性.(重点、难点)2.会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性.(难点)3.会求一些具体函数的单调区间.(重点)[基础·初探]教材整理1 增函数与减函数的定义阅读教材P27~P28,完成下列问题. 增函数与减函数的定义条件一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时都有f(x1)<f(x2)都有f(x1)>f(
2、x2)结论那么就说函数f(x)在区间D上是增函数那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图示判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)因为f(-1)f(1).( )(3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数,则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数.( )【解析】 (1)×.函数的单调性强调自变量的任意性而非特殊性.(2)√.由减函数的定义可知f(0)>f(1).(3)×.反例:f(x)=【答案】 (1
3、)× (2)√ (3)×教材整理2 函数的单调性与单调区间阅读教材P29第一段,完成下列问题. 函数的单调性与单调区间如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.函数f(x)=x2-2x+3的单调减区间是________.【解析】 因为f(x)=x2-2x+3是图象开口向上的二次函数,其对称轴为x=1,所以函数f(x)的单调减区间是(-∞,1).【答案】 (-∞,1)[小组合作型]求函数的单调区间 求下列函数的单调区间,并指出该函数在其
4、单调区间上是增函数还是减函数.(1)f(x)=-;(2)f(x)=(3)f(x)=-x2+2
5、x
6、+3.【精彩点拨】 (1)根据反比例函数的单调性求解;(2)根据自变量的范围分段求出相应的函数的单调区间;(3)做出函数的图象求其单调区间.【自主解答】 (1)函数f(x)=-的单调区间为(-∞,0),(0,+∞),其在(-∞,0),(0,+∞)上都是增函数.(2)当x≥1时,f(x)是增函数,当x<1时,f(x)是减函数,所以f(x)的单调区间为(-∞,1),[1,+∞),并且函数f(x)在(-∞,1)上是减函数,在[1,+∞)上
7、是增函数.(3)因为f(x)=-x2+2
8、x
9、+3=根据解析式可作出函数的图象如图所示,由图象可知,函数f(x)的单调区间为(-∞,-1],[0,1),(-1,0),[1,+∞).f(x)在(-∞,-1],[0,1)上是增函数,在(-1,0),[1,+∞)上是减函数.1.求函数单调区间的方法(1)利用基本初等函数的单调性,如本例(1)和(2),其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解;(2)利用函数的图象,如本例(3).2.若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一,函数的单调区间之间要用“,”隔开,如本例(3
10、).[再练一题]1.函数f(x)=-x2+2ax+3(a∈R)的单调减区间为________.2.【导学号:】【解析】 因为函数f(x)是开口向下的二次函数,其对称轴为x=a,所以f(x)的单调减区间为(a,+∞).【答案】 (a,+∞)函数单调性的判定与证明 (1)下列四个函数中在(0,+∞)上为增函数的是( ) A.f(x)=3-xB.f(x)=(x-1)2C.f(x)=D.f(x)=x2+2x(2)用单调性定义证明函数f(x)=在区间(0,1)上是减函数.【精彩点拨】 (1)根据一次函数、反比例函
11、数或二次函数的单调性判断.(2)利用函数单调性的定义,取值,作差,变形,定号,下结论,即可证得.【自主解答】 (1)A.f(x)=3-x在(0,+∞)上为减函数.B.f(x)=(x-1)2是开口向上的二次函数,其对称轴为x=1,它的单调增区间为(1,+∞),所以它在(0,+∞)上不为单调函数.C.f(x)=在(0,+∞)上为减函数.D.f(x)=x2+2x是开口向上的二次函数,其对称轴为x=-1,则它的单调递增区间是(-1,+∞),所以它在(0,+∞)上为增函数.【答案】 D(2)设x1,x2∈(0,1)且x1<x2,则f(x1
12、)-f(x2)=-==.∵x1<x2,∴x2-x1>0.∵x1,x2∈(0,1),∴x1+1>0,x2+1>0,x1-1<0,x2-1<0,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以,函数f(x)=在区间(0,1)上是减函数.利用定义证明函数单
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