2018版高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.1 函数的单调性与导数学案 新人教A版选修1-1.doc

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1、3.3.1　函数的单调性与导数1.掌握函数的单调性与导数的关系.(难点)2.能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间.(重点)3.能根据函数的单调性求参数.(难点)[基础·初探]教材整理　函数的单调性与导数阅读教材P89～P90“思考”部分，完成下列问题.1.函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上

2、或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增.(　　)(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”.(　　)(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大.(　　)(4)在区间(a，b)内，f′(x)>0是f(x)在此区间上单调递增的充要条件.(　　)【答案】　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×[小组合作型]求函数的单调区间　求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x3－2x2＋x；(2)f(x)＝3x2－2lnx；(3)f(x)＝x2＋a

3、lnx(a∈R，a≠0).【导学号：】【精彩点拨】　在定义域内解不等式f′(x)＞0(或f′(x)＜0)，确定单调区间.【自主解答】　(1)函数的定义域为R，∵f(x)＝x3－2x2＋x，∴f′(x)＝3x2－4x＋1.令f′(x)＞0，解得x＞1或x＜.因此f(x)的单调递增区间是，(1，＋∞).令f′(x)＜0，解得＜x＜1.因此f(x)的单调递减区间是.(2)函数的定义域为(0，＋∞).f′(x)＝6x－＝2·.令f′(x)＞0，即2·＞0，解得－＜x＜0或x＞.又x＞0，∴x＞；令f′(x)＜0，即2·＜0，解得x＜－或0＜x＜，又x＞0，∴0＜x＜.∴f(x)的单调递增区间为

4、，单调递减区间为.(3)函数定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x＋.①当a＞0时，f′(x)＝x＋＞0恒成立，这时函数只有单调递增区间为(0，＋∞)；②当a＜0时，由f′(x)＝x＋＞0，得x＞；由f′(x)＝x＋＜0，得0＜x＜，所以当a＜0时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是(0，).综上，当a＞0时，单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当a＜0时，单调递增区间为(，＋∞)，单调递减区间为(0，).利用导数求单调区间，实质上是在定义域内求不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0的解集.如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)是常函数；如果在某个区间内只有有限个点使f′

5、(x)＝0，其余点恒有f′(x)＞0(f′(x)＜0)，则f(x)仍为增函数(减函数).[再练一题]1.(1)函数y＝x3－x2－x的单调递增区间为(　　)A.和(1，＋∞)B.C.∪(1，＋∞)D.(2)函数f(x)＝x－2sinx在(0，π)上的单调递增区间为________.【解析】　(1)y′＝3x2－2x－1，令y′>0，得x<－或x>1，所以函数的单调递增区间为和(1，＋∞).(2)令f′(x)＝1－2cosx>0，则cosx<，又x∈(0，π)，解得

6、的图象如图331所示，则f(x)的图象只可能是(　　)图331【精彩点拨】　→→→【自主解答】　由导函数图象知，在[a，b]上，f′(x)＞0.故f(x)在[a，b]上单调递增，又在上，

7、f′(x)

8、越来越大，则f(x)在上增长越来越快；在上，

9、f′(x)

10、越来越小，则f(x)在上增长越来越慢，故选D.【答案】　D研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.[再练一题]2.设函数f(

11、x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图332所示，则导函数y＝f′(x)可能为(　　)【导学号：】图332【解析】　由函数的图象知：当x＜0时，函数单调递增，导数应始终为正；当x＞0时，函数先增后减再增，导数应先正后负再正，对照选项，只有D正确.【答案】　D[探究共研型]已知函数单调性求参数取值范围探究1　在区间(a，b)内，若f′(x)＞0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？【提示】　不一定成立.比如y＝x3在R上为增函数，但其