2018版高中数学 第一章 解三角形 1.1.2 余弦定理（二）学案 新人教A版必修5.doc

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1、1．1.2　余弦定理(二)[学习目标]　1.熟练掌握余弦定理及其变形形式，能用余弦定理解三角形.2.能应用余弦定理判断三角形形状.3.能利用正弦、余弦定理解决解三角形的有关问题．知识点一　余弦定理及其推论1．a2＝b2＋c2－2bccos__A，b2＝c2＋a2－2cacos__B，c2＝a2＋b2－2abcos__C．2．cosA＝，cosB＝，cosC＝．3．在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为直角，c2>a2＋b2⇔C为钝角；c2

2、边的对角，解三角形；(2)已知两角和一边，解三角形；(3)已知一个三角形的两条边及其夹角，解三角形；(4)已知一个三角形的三条边，解三角形．答案　(2)题型一　利用余弦定理判断三角形的形状例1　在△ABC中，cos2＝，其中a，b，c分别是角A，B，C的对边，则△ABC的形状为(　　)A．直角三角形B．等腰三角形或直角三角形C．等腰直角三角形D．正三角形答案　A解析　方法一　在△ABC中，由已知得＝＋，∴cosB＝＝，化简得c2＝a2＋b2.故△ABC为直角三角形．方法二　原式化为cosB＝＝，∴cosBsinC＝sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosB

3、sinC，∴sinBcosC＝0，∵B∈(0，π)，sinB≠0，∴cosC＝0，又∵C∈(0，π)，∴C＝，即△ABC为直角三角形．反思与感悟　一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理；反之，若遇到的式子含角的正弦或是边的一次式，则大多用正弦定理；若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用．跟踪训练1　在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则三角形一定是(　　)A．直角三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形答案　B解析　由余弦定理cosB＝，代入得＝，∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c.又∵B＝60°，∴

4、△ABC是等边三角形．题型二　正弦、余弦定理的综合应用例2　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝.(1)证明：sinAsinB＝sinC；(2)若b2＋c2－a2＝bc，求tanB.(1)证明　根据正弦定理，可设＝＝＝k(k>0)．则a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC.代入＋＝中，有＋＝，变形可得：sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B)．在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，所以sinAsinB＝sinC.(2)解　由已知，b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理，

5、有cosA＝＝.所以sinA＝＝.由(1)知，sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，所以sinB＝cosB＋sinB，故tanB＝＝4.反思与感悟　(1)余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角互换的．在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程(组)求解．同时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息．(2)解题时，还应注意，当把条件转化为角之间的关系时，还应注意三角恒等变换公式的应用．跟踪训练2　在△ABC中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，且bsinA＝acosB.(

6、1)求角B；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．解　(1)由bsinA＝acosB及正弦定理，得sinB＝cosB，即tanB＝，因为B是三角形的内角，所以B＝.(2)由sinC＝2sinA及正弦定理得，c＝2a.由余弦定理及b＝3，得9＝a2＋c2－2accos，即9＝a2＋4a2－2a2，所以a＝，c＝2.题型三　利用正弦、余弦定理证明边角恒等式例3　在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，求证：＝.证明　在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，∴a2－b2＝b2－a2－2bccosA＋

7、2accosB，∴2(a2－b2)＝2accosB－2bccosA，即a2－b2＝accosB－bccosA，∴＝.由正弦定理得＝，＝，∴＝＝，故等式成立．反思与感悟　(1)证明三角恒等式，关键是消除等号两端三角函数式的差异．形式上一般有：左⇒右；右⇒左或左⇒中⇐右三种．(2)利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系；二是把边的关系转化为角的关系．跟踪训练3　在△ABC中，若acos2＋ccos2＝，求证：a＋c＝2b.解　由题a(1＋cosC)＋c(1＋cosA)＝3b，即a＋a·＋c＋c·