高中数学 第一章 解三角形 1.1.2 余弦定理导学案 新人教a版必修5

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1、1.1.2　余弦定理学习目标1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法;2.会利用余弦定理解决两类基本的解三角形问题;3.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论;4.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；重点难点重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用.难点1.向量知识在证明余弦定理时的应用,与向量知识的联系过程;2.余弦定理在解三角形时的应用思路;3.勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用．学习方法学案导学自主学习（知识梳理）1．余弦定理三角形中任何一边的________等于其他两边的________的和减去这两边与它们的____________

2、__的余弦的积的________．即a2＝__________________，b2＝_______，c2＝__________________.2．余弦定理的推论cosA＝________________；cosB＝________________；cosC＝________________.3．在△ABC中：(1)若a2＋b2－c2＝0，则C＝________；(2)若c2＝a2＋b2－ab，则C＝________；(3)若c2＝a2＋b2＋ab，则C＝________.合作探究（重难点突破）试用向量的数量积证明余弦定理．知识点一　已知三角形两边及夹角解三角形例1　在△ABC中，已知a

3、＝2，b＝2，C＝15°，求A.总结　解三角形主要是利用正弦定理和余弦定理，本例中的条件是已知两边及其夹角，而不是两边及一边的对角，所以本例的解法应先从余弦定理入手．变式训练1　在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，求边c.知识点二　已知三角形三边解三角形例2　已知三角形ABC的三边长为a＝3，b＝4，c＝，求△ABC的最大内角．总结　已知三边求三角时，余弦值是正值时，角是锐角，余弦值是负值时，角是钝角．变式训练2　在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．知识点三　利用余弦定理判断三角形形状例3　在△ABC中，a、b、c分别表

4、示三个内角A、B、C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，试判断该三角形的形状．变式训练3　在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，试判断三角形的形状．1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两边和夹角，解三角形．(2)已知三边求三角形的任意一角．2．余弦定理与勾股定理余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．(2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角．(3)如果一个三角形两边的平方和等于

5、第三边的平方，那么第三边所对的角是直角.当堂检测（训练达标）一、选择题1．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为(　　)A.B.C.D.2．在△ABC中，已知a＝2，则bcosC＋ccosB等于(　　)A．1B.C．2D．43．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cosB等于(　　)A.B.C.D.4．在△ABC中，sin2＝(a、b、c分别为角A、B、C的对应边)，则△ABC的形状为(　　)A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形5．在△ABC中，已知面积S＝(a2＋b2－c2)，则角C的度数为(　　)A．135°B．45°C．60°D．120°

6、题　号12345答　案二、填空题6．三角形三边长分别为a，b，(a>0，b>0)，则最大角为________．7．在△ABC中，AB＝2，AC＝，BC＝1＋，AD为边BC上的高，则AD的长是________．8．在△ABC中，BC＝1，∠B＝，当△ABC的面积等于时，tanC＝________.三、解答题9．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.(1)求角C的度数；(2)求AB的长；(3)求△ABC的面积．10．在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求三边的长．1．1.2　余弦定理答案知识梳理1．平方　平

7、方　夹角　两倍　b2＋c2－2bccosA　c2＋a2－2cacosB　a2＋b2－2abcosC2.　　3．(1)90°　(2)60°　(3)135°自主探究证明　如图所示，设＝a，＝b，＝c，那么c＝a－b，

8、c

9、2＝c·c＝(a－b)·(a－b)＝a·a＋b·b－2a·b＝a2＋b2－2abcosC.所以c2＝a2＋b2－2abcosC.同理可以证明：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacos