2018版高中数学 第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用学案 新人教A版必修4.doc

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1、1.6　三角函数模型的简单应用1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题.(重点)2.实际问题抽象为三角函数模型.(难点)[基础·初探]教材整理　三角函数的实际应用阅读教材P60～P64所有内容，完成下列问题.1.三角函数可以作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型.2.y＝

2、sinx

3、是以π为周期的波浪形曲线.3.解三角函数应用题的基本步骤：(1)审清题意；(2)搜集整理数据，建立数学模型；(3)讨论变量关系，求解数学模型；(4)检验，作出结论.单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(厘米)和时间t(秒)的函数关系为s＝3si

4、n，那么单摆来回摆的振幅为________厘米，一次所需的时间为________秒.【解析】　因为s＝3sin，所以振幅为A＝3(厘米)，周期T＝＝4(秒).【答案】　3　4[小组合作型]三角函数模型简单的实际应用　如图161，某动物种群数量1月1日低至700只，7月1日高至900只，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化.图161(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位)；(2)估计当年3月1日动物种群数量.【导学号：】【精彩点拨】　可设y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)来求解.【自主解答】　(1)设动物种群数量y关于t的解析式为y＝Asi

5、n(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0)，则解得A＝100，b＝800.又周期T＝2×(6－0)＝12，∴ω＝＝，∴y＝100sin＋800.又当t＝6时，y＝900，∴900＝100sin＋800，∴sin(π＋φ)＝1，∴sinφ＝－1，∴取φ＝－，∴y＝100sin＋800.(2)当t＝2时，y＝100sin＋800＝750，即当年3月1日动物种群数量约是750只.解三角函数应用问题的基本步骤[再练一题]1.已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4,16].(1)求该地这一段时间内温度的最大温差；(2)若有一种细菌在15℃到25℃之间可以生存

6、，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？【解】　(1)当x＝14时函数取最大值，此时最高温度为30℃，当x＝6时函数取最小值，此时最低温度为10℃，所以最大温差为30℃－10℃＝20℃.(2)令10sin＋20＝15，得sin＝－，而x∈[4,16]，所以x＝.令10sin＋20＝25，得sin＝，而x∈[4,16]，所以x＝.故该细菌能存活的最长时间为－＝小时.三角函数模型在物理学中的应用　已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin，t∈[0，＋∞).用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题.(1)小球在开始

7、振动(t＝0)时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？(3)经过多长时间小球往复振动一次？【精彩点拨】　确定函数y＝Asin(ωx＋φ)中的参数A，ω，φ的物理意义是解题关键.【自主解答】　列表如下：t－2t＋0π2πsin010－10s040－40描点、连线，图象如图所示.(1)将t＝0代入s＝4sin，得s＝4sin＝2，所以小球开始振动时的位移是2cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4cm和－4cm.(3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是πs.在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ

8、)表示物体振动的位移y随时间x的变化规律，A为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T＝为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f＝为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数.[再练一题]2.弹簧挂着的小球做上下振动，它在ts时相对于平衡位置(就是静止时的位置)的高度hcm由函数关系式h＝3sin确定.(1)以t为横坐标，h为纵坐标，作出函数的图象(0≤t≤π)；(2)求小球开始振动(即t＝0)时的位移；(3)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位移；(4)经过多少时间小球往复振动一次？(5)每秒钟小球能往复振动多少次？【解】　(1)函数h＝3sin，0≤t≤π的图象如图所示.

9、(2)令t＝0，得h＝，所以小球开始振动时的位移为cm.(3)结合图象可知，最高点和最低点的坐标分别是，，所以小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是3cm和－3cm.(4)由图可知周期T＝π，即经过πs小球往复振动一次.(5)f＝＝，即每秒钟小球能往复振动次.[探究共研型]数据拟合问题探究　在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需要几个步骤？【提示】　(1)根据原始数据给出散点图.(2)通过考察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟