高中数学 1.6 三角函数模型的简单应用学案 新人教A版必修 .doc

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1、1.6三角函数模型的简单应用学习目标：会用三角函数解决一些简单的实际问题；体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．学习重点：三角函数的实际应用学习难点：三角函数模型的建立【学法指导】三角函数是刻画周期现象的重要模型，利用三角函数模型解决实际问题时，要注意充分依据收集的数据，画出“散点图”，观察“散点图”的特征，当“散点图”具有波浪形的特征时，可以考虑应用正、余弦函数进行拟合.一．知识导学1．三角函数的周期性y＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝____；y＝Acos(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝____；y＝Atan(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝____.2．函数y

2、＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)的性质(1)ymax＝，ymin＝.(2)A＝，k＝.(3)ω可由确定，其中周期T可观察图象获得．(4)由ωx1＋φ＝，ωx2＋φ＝，ωx3＋φ＝，ωx4＋φ＝，ωx5＋φ＝中的一个确定φ的值．3．三角函数模型的应用二．探究与发现【探究点一】利用三角函数模型解释自然现象在客观世界中，周期现象广泛存在．潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化．而三角函数模型是刻画周期性问题的最优秀的数学模型．利用三角函数模型解决实际问题的具体步骤如下：(1)收集数据，画出“散点图”；(2)观察“散点图”，

3、进行函数拟合，当散点图具有波浪形的特征时，便可考虑应用正弦函数和余弦函数模型来解决；(3)注意由第二步建立的数学模型得到的解都是近似的，需要具体情况具体分析．例如，如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝sin(ωx＋φ)＋b.根据图象可知，一天中的温差是；这段曲线的函数解析式是y＝．【探究点二】三角函数模型在物理学中的应用在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)来表示运动的位移y随时间x的变化规律，其中：(1)A称为简谐运动的振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移；(2)T＝称为简谐运动的周期，它表示物体往复运动一次所需的时间；(3

4、)f＝＝称为简谐运动的频率，它表示单位时间内物体往复运动的次数．例如，一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，小球来回摆动时，离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是：s＝6sin.(1)画出它的图象；t012πt＋π2π2π＋6sin360－603(2)回答以下问题：①小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置是多少？②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？③小球来回摆动一次需要多少时间？【典型例题】例1．(1)作出函数y＝

5、cosx

6、的图象，判断其奇偶性、周期性并写出单调区间．(2)作出函数y＝sin

7、x

8、的图象并判断其周期性．跟踪训练1。求下列函数的周期：

9、(1)y＝

10、sin2x

11、；(2)y＝；(3)y＝

12、tan2x

13、.例2．交流电的电压E(单位：伏)与时间t(单位：秒)的关系可用E＝220sin来表示，求：(1)开始时的电压；(2)最大电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次取得最大值的时间．跟踪训练2。下图表示电流I与时间t的函数关系式：I＝Asin(ωt＋φ)在同一周期内的图象．(1)据图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；(2)为使I＝Asin(ωt＋φ)中t在任意一段的时间内电流I能同时取得最大值和最小值，那么正整数ω的最小值是多少？例3．某港口水深y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是水深

14、数据：t(小时)03691215182124y(米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似的看成正弦函数模型y＝Asinωt＋B的图象．(1)试根据数据表和曲线，求出y＝Asinωt＋B的解析式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)小结　确定函数关系式y＝Asinωt＋B(A>0)，就是确定其中的参数A，ω，B等，可从所

15、给的数据中寻找答案．由于函数的最大值与最小值不是互为相反数，若设最大值为M，最小值为m，则A＝，B＝.跟踪训练3。设y＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观察，函数y＝f(t)的图象可以近似地看成函数y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图象