2018年高考数学一轮复习 专题15 导数的综合应用教学案 理.doc

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1、专题15导数的综合应用1.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．　2.会利用导数解决某些实际问题．1．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答．2．不等式问题(1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题．(2)求解不等

2、式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题．3．方程解的个数问题构造函数，利用导数研究函数的单调性，极值和特殊点的函数值，根据函数性质结合草图推断方程解的个数．高频考点一　用导数解决与不等式有关的问题例1、已知函数f(x)＝在点(－1，f(－1))处的切线方程为x＋y＋3＝0.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设g(x)＝lnx，求证：g(x)≥f(x)在[1，＋∞)上恒成立；(3)若0.(1)解　将x＝－1代入切线方程得y＝－2，所以f(－1)＝＝－2，化简得b－a＝－

3、4.①f′(x)＝，f′(－1)＝＝－1.②联立①②，解得a＝2，b＝－2.所以f(x)＝.(3)证明　因为01，由(2)知ln>，整理得>，所以当0.【方法规律】证明不等式通常需要构造函数，利用函数的最值、单调性证明.(1)证明不等式f(x)f(b)，然后利用函数f(x)的单调性证明，另一种方法是通过换元构造成单变量

4、不等式，如本例令x＝然后再利用已知关系证明即可.【变式探究】(2016·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝lnx－x＋1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明当x∈(1，＋∞)时，1<1，证明当x∈(0，1)时，1＋(c－1)x>cx.(1)解　依题意，f(x)的定义域为(0，＋∞).f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，得x＝1，∴当00，f(x)单调递增.当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减.(2)证明　由(1)知f(x)在x＝1处取得最大值，且最大值f(1)＝0.所以当x≠1时，l

5、nx1，设g(x)＝1＋(c－1)x－cx，则g′(x)＝c－1－cxlnc.令g′(x)＝0，解得x0＝.当x0，g(x)单调递增；当x>x0时，g′(x)<0，g(x)单调递减.由(2)知1<0.所以当x∈(0，1)时，1＋(c－1)x>cx.高频考点二、不等式恒成立问题求参数的范围例2、已知函数f(x)＝ax＋lnx，x∈[1，e

6、].(1)若a＝1，求f(x)的最大值；(2)若f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围.解　(1)若a＝1，则f(x)＝x＋lnx，f′(x)＝1＋＝.∵x∈[1，e]，∴f′(x)>0，∴f(x)在[1，e]上为增函数，∴f(x)max＝f(e)＝e＋1.(2)法一　∵f(x)≤0即ax＋lnx≤0对x∈[1，e]恒成立，∴a≤－，x∈[1，e].令g(x)＝－，x∈[1，e]，则g′(x)＝，∵x∈[1，e]，∴g′(x)≤0，∴g(x)在[1，e]上递减，∴g(x)min＝g(e)＝－，∴a≤－.法二　要使x∈[1，e]，

7、f(x)≤0恒成立，只需x∈[1，e]时，f(x)max≤0，显然当a≥0时，f(x)＝ax＋lnx在[1，e]上递增，∴f(x)max＝f(e)＝ae＋1>0，不合题意；当a<0时，f′(x)＝a＋＝，令f′(x)＝0，x＝－，当x<－时，f′(x)>0；当x>－时，f′(x)<0.①当－≤1时，即a≤－1时，f(x)在[1，e]上为减函数，∴f(x)max＝f(1)＝a<0，∴a≤－1；②当－≥e时，即－≤a<0时，f(x)在[1，e]上为增函数，∴f(x)max＝f(e)＝ae＋1≤0，a≤－，∴a＝－；③当1<－

8、即－1