2017-2018版高中数学 第1章 导数及其应用 1.1.2 瞬时变化率——导数(一)学案 苏教版选修2-2.doc

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1、1．1.2　瞬时变化率——导数(一)学习目标　1.结合实际背景理解函数的瞬时变化率——导数的概念及其几何意义.2.会求简单函数在某点处的导数及切线方程.3.理解导数与平均变化率的区别与联系．知识点一　曲线上一点处的切线思考1　曲线的切线与曲线只有一个公共点吗？　思考2　曲线上在某一点处的切线的含义是什么？　设Q为曲线C上不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线，随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C.当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直

2、线l称为曲线在点P处的切线．知识点二　瞬时速度与瞬时加速度思考　运动物体在某一时刻的瞬时加速度为0，那么该时刻物体是否一定停止了运动？1．如果Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度，即位移对于时间的瞬时变化率．2．如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时加速度，即速度对于时间的瞬时变化率．知识点三　导数及其几何意义1．导数设函数y＝f(x)在区间(a，

3、b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．2．导数的几何意义导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，切线PT的方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).类型一　求瞬时速度、瞬时加速度例1　已知质点M的运动速度与运动时间的关系为v＝3t2＋2(速度单位：cm/s，时间单位：s)．(1)当t＝2，Δt＝0.01时，求；(

4、2)求质点M在t＝2时的瞬时加速度．　　　　反思与感悟　(1)求瞬时速度的关键在于正确表示“位移的增量与时间增量的比值”，求瞬时加速度的关键在于正确表示“速度的增量与时间增量的比值”，注意二者的区别．(2)求瞬时加速度：①求平均加速度；②令Δt→0，求出瞬时加速度．跟踪训练1　质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2s时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值．　　类型二　求曲线在某点处的切线方程例2　已知曲线C：y＝x3＋.(1)求曲线C在横坐标为2的

5、点处的切线方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他公共点？　　反思与感悟　(1)根据导数的几何意义知函数y＝f(x)在点x0处的导数就是曲线在该点处切线的斜率，再由直线方程的点斜式便可求出曲线在该点处的切线方程．注意若在点(x0，y0)处切线的倾斜角为，此时所求的切线平行于y轴，所以直线的切线方程为x＝x0.(2)曲线的切线与曲线的交点可能不止一个．跟踪训练2　曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是________．类型三　求切点的坐标例3　已知抛物线y＝2x2＋

6、1分别满足下列条件，求出切点的坐标．(1)切线的倾斜角为45°；(2)切线平行于直线4x－y－2＝0；(3)切线垂直于直线x＋8y－3＝0.　　　　反思与感悟　根据切线斜率求切点坐标的步骤：(1)设切点坐标(x0，y0)；(2)求导函数f′(x)；(3)求切线的斜率f′(x0)；(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将x0代入求y0得切点坐标．跟踪训练3　已知直线l：y＝4x＋a与曲线C：y＝2x2相切，求a的值及切点坐标．　　　　　1．若做直线

7、运动的物体的速度(单位：m/s)与时间(单位：s)的关系为v(t)＝t2－2，则在前4s内的平均速度是________m/s，在t＝4s时的瞬时速度是________m/s.2．已知曲线y＝2x2上一点A(1,2)，则A处的切线斜率为________．3．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则a＝________，b＝________.4．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.1．平均变化率和瞬时变化率的

8、关系平均变化率＝，当Δx趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x0点的瞬时变化率．即有：Δx趋于0是指自变量间隔Δx越来越小，能达到任意小的间隔，但始终不能为0，即对于瞬时变化率，我们通过减小自变量的改变量以致趋于零的方式，实现用割线斜率“逼近”切线斜率，用平均速度“逼近”瞬时速度．一般地，可以用平均变化率“逼近”瞬时变化率．2．不管是求切线的斜率、瞬时速度和瞬时加速度，还是求实际问题中的瞬时变化率，它们的解题步骤是一样的：(1)计算Δy；(2)求；(3