关于各种形状透镜的焦距公式.pdf

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1、第28卷第2期唐山师范学院学报2006年3月Vol.28No.2JournalofTangshanTeachersCollegeMar.2006关于各种形状透镜的焦距公式石凤良（唐山师范学院物理系，河北唐山063000）摘要：采用直观的方法得出了空气中各种形状的薄透镜的焦距公式，使其物理意义更加明显。关键词：透镜；焦距；公式中图分类号：O435.1文献标识码：A文章编号：1009-9115（2006）02-0072-03在中学物理教材中，一般不讨论透镜的焦距与其形状、触的两凹透镜，或凸透镜与凹透镜仍然成立。但应注意：凸材质的关

2、系。大学物理教材通常借助虚物的概念或费马原理透镜焦距为正，凹透镜焦距为负。[1]给出焦距公式。本文采用较直观的方法给出空气中各种形1.2两侧不对称的透镜，两侧焦距依然相等状的薄透镜的焦距公式，物理意义更加明显。对于两侧严格对称的双凸透镜或双凹透镜，其两侧的焦1预备知识距严格相等是很容易理解的。实际上，两侧不对称的透镜（比1.1两个密接薄透镜的组合问题如平凸、平凹透镜），其两侧的焦距依然相等。这是因为无如图1所示，薄凸透镜L1、L2零距离接触，其焦点分论何种透镜，只要其身处空气之中，通过镜心的光线的方向[3]别为F1、F2；焦距

3、分别为f1、f2。平行于主光轴的光线AB将不改变（透镜的中心部位很近似平行玻璃板），而这一经L1折射后射向F1点，过O2点作光线BC的平行光线并与点必然要求两侧的焦距相等。以图2所示平凸透镜为例解释过F2点的焦平面交于D点，则光线CD即为AB经L1、L2如下。折射后的最终出射光线，与主光轴的交点F是L1、L2的合BC··D·成焦点。F点到O2点的距离便是合成焦距f。LOF右A’L2AF左····1C’··D’·B’ABCf左f右··O2FF2F1图2不对称透镜O·1·····D高度为y的物体AB经凸透镜成像为高度y’的A’B’

4、，光f线BC经平凸透镜的凸面折射一次成为出射光线DB'，右侧焦f2f1点F右到O点的距离为右侧焦距f右。假象B'点发出平行于光轴的光线B'D'，该光线将经过凸面及平面的两次折射后成为图1透镜组合出射光线C’B。焦点F左到O点距离为左侧焦距f左。设A点fCF到O点的物距为u，A'点到O点的像距为V，由于ΔABO相由ΔCFO∽ΔDFF得=，化简得22f2−fFDyv′似于ΔABO′′，则=。而△A'F右B相似于△OF右D（实fff−fCFyuf=12；由ΔCFF∽ΔDOF得1=，则12f12+ffFDy′v−f右际上OD也很近似垂

5、直光轴且OD=y）。于是=，fff1−yf右=。f2−ffvv−f右uv故=，整理得f=，同时△AF左B相似于[2]uf右u+v上述公式不仅对紧密接触的两凸透镜成立，对紧密接右──────────收稿日期：2005-09-10作者简介：石凤良（1965-），男，河北乐亭人，唐山师范学院物理系副教授，理学硕士。-72-石凤良：关于各种形状透镜的焦距公式△OF右D’（实际上OD’也很近似垂直光轴OD’=y’），于是rf=1>0（该式利用了预备知识1.2中的1f左=f右），y′f左vf左n−1=，故=，整理得yu−f左uu−f左rf

6、=2>0，于是利用预备知识1.1可得2uvn−1f=，显然f=f。左左右u+vffrr12=12>0。f=双凸ffnrr+−(1)()+2各种形状透镜的焦距公式12122.1平凸透镜C2C1如图3所示，设与平凸透镜的凸面相应的球面半径为r，···r1其球心为C。距主光轴很近且平行主光轴的入射光线AB，r2无折射地变成光线AD而入射到凸面上，CD为法线，入射图5双凸透镜角为α（很小），设透镜的折射率为n，则其折射角近似为ODnα，图3中ODr，ODf凸，则=tgα≈α，r2.4双凹透镜OD如图6所示，与双凹透镜的前凹面相应的

7、球面半径为r1，=tgn[(−≈−1)]α(n1)α故得f凸与双凹透镜的后凹面相应的球面半径为r2。作辅助线如虚线r所示，则双凹透镜可看作是两个平凹透镜的组合，且f凸=>0。(1n−)rf=−1（该式仍利用了预备知识1.2中的1f左=f右），如果n=1.5，则f凸=2r，即球面半径越大，透镜焦距n−1越大。rf=−2，于是再利用预备知识1.1可得2n−1ABDα·nαffrrα(n−1)αf=12=−<120。·O··双凹ff+−(1nrr)()+CF1212rf凸图3平凸透镜C1O1O2C2····2.2平凹透镜-r1r2如

8、图4所示，入射角为α的入射光线（CB为法线），图6双凹透镜经平凹透镜的凹面折射后，成为折射角为nα的出射光线BD，其反向延长线与主轴的交点便是虚焦点。仿照对平2.5凹凸透镜图7所示的透镜为凹凸透镜，其中rr>，该透镜可看r21凸透镜的讨论，仍可锝f=但考虑到凹透镜焦距为负凹n