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1、第一章函数的极限与连续第一节函数及其性质第二节极限第三节函数的连续性分析基础函数极限连续—研究对象—研究方法—研究桥梁在讨论函数极限时,我们说函数在一点的函数值与极限值是两个不同的问题.它们的关系有函数值不存在，极限存在；函数值,极限值都存在,但不相等；函数值等于极限值.2增量：终值与初值的差自变量在x0处的增量：函数y在点x0处相应的增量：一、函数的连续性（一）函数y=f(x)在点处的连续性1.增量3x虽然称为增量，但是其值可正可负.例如，当xx0时，x=x-x0>0,一般地：x≠04定义1.3.1设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，如果当自
2、变量x在x0处的增量x趋于零时，相应的函数增量y=f(x0+x)-f(x0)也趋于零，即则称函数y=f(x)在点x0连续，也称点x0为函数y=f(x)的连续点．5说明：2.函数在一点连续实质就是:当自变量变化不大时,函数值变化也不大.1.函数y=f(x)在点x0连续的几何意义表示函数图形在x0不断开.06定义1.3.2设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，如果x→x0时，相应的函数值f(x)→f(x0)，即例如：则称函数y=f(x)在点x0连续，也称点x0为函数y=f(x)的连续点．故在x0连续，在点1处连续.73.函数y=f(x)在点x0连续必须同时满足以下三个条件：(1)函数y
3、=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，函数在一点的的连续性同极限一样，都是函数的局部性质。(2)极限(3)函数在x0处极限值等于函数值，即存在；即y=f(x0)存在;8例1讨论函数f(x)=x+1在x=2处的连续性．f(x)在x=2及其近旁有定义且f(2)=3;f(x)在x=x0及其近旁点是否有定义？若有定义，f(x0)=？？所以，函数f(x)=x+1在x=2处连续.解9例2讨论函数f(x)在x=0及其近旁有定义且f(0)=0;不存在,因此函数f(x)在x=0处不连续.解在x=0处的连续性．10例3讨论函数f(x)在x=1及其近旁有定义且f(1)=0,不存在.因此函数f(x)在x=1处不连续.
4、解在x=1处的连续性．11定义1.3.3设函数y=f(x)在(x0-,x0]有定义，称y=f(x)在x0处左连续.2.函数y=f(x)在x0处的左、右连续设函数y=f(x)在[x0,x0+)有定义，且称y=f(x)在x0处右连续.且12定理1.3.1函数在点处连续的充要条件是函数在点处既左连续又右连续.由于得:13例4讨论函数f(x)在x=/2及其近旁有定义且f(/2)=1.因此函数f(x)在x=/2处左连续.因此函数f(x)在x=/2处右连续.因此函数f(x)在x=/2处连续.解在x=/2处的连续性．14定义1.3.4如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每（二）函数y=
5、f(x)在区间[a,b]上的连续性那么称函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续,或者说(4)在右端点b处左连续,即如果y=f(x)满足(1)在闭区间[a,b]上有定义;(3)在左端点a处右连续,即(2)在开区间(a,b)内连续;一点都连续,称函数y=f(x)在开区间(a,b)内连续.y=f(x)是闭区间[a,b]上连续函数.15若函数y=f(x)在它定义域内的每一点都连续,则称y=f(x)为连续函数.基本初等函数在其定义域内都连续．连续函数的图象是一条连续不间断的曲线．16二、初等函数的连续性定理1.3.2（连续函数的四则运算）注意：和、差、积的情况可以推广到有限多个函数的情形．f(x)±g
6、(x),f(x)·g(x),f(x)/g(x)在点x0处也连续．若函数f(x),g(x)在点x0处连续，则函数17定理1.3.3（复合函数的连续性）设有复合函数y=f[(x)]，若(x)在点x0连续，且(x0)=u0而函数f(u)在u=u0连续，则复合函数y=f[(x)]在x=x0也连续．例如，内连续,内连续,内连续.18推论若lim(x)=u0，函数y=f(u)在(1)可作变量代换u=(x)求复合函数的极限,即令u=(x)点u0处连续，则有:(2)极限运算与函数运算可以交换次序，即这表明:复合函数满足推论条件时:19解例如，求设时,处连续.由于或:20定理1.3.4初等函数在其
7、定义区间内是连续的．注:定义区间是指包含在定义域内的区间!21例5计算因为arcsin(lnx)是初等函数，且x=e是它的定义区间内的一点，由定理1.3.3，有:解22例6计算解23三、函数的间断点定义1.3.5如果函数y=f(x)在点x0的某去心邻域内有定义，在点x0处不连续，则称y=f(x)在点x0处间断,并称点x0为函数y=f(x)的不连续点或间断点．（一）间断点的概念24进一步说明设函数f
