解三角形专题复习-师.doc

《解三角形专题复习-师.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、解三角形◆知识点梳理（一）正弦定理：（其中R表示三角形的外接圆半径）适用情况：（1）已知两角和一边，求其他边或其他角；（2）已知两边和对角，求其他边或其他角。变形：①，，②，，③=④（二）余弦定理：=（求边），cosB=（求角）适用情况：（1）已知三边，求角；（2）已知两边和一角，求其他边或其他角。（三）三角形的面积：①；②；③；④；⑤；⑥（其中，r为内切圆半径）（四）三角形内切圆的半径：，特别地，（五）△ABC射影定理：，…（六）三角边角关系：（1）在中，；；；（2）边关系：a+b>c，b+c

2、>a，c+a>b，a－bb；（3）大边对大角：◆考点剖析（一）考查正弦定理与余弦定理的混合使用例1、在△ABC中，已知Ａ＞Ｂ＞Ｃ,且Ａ=2Ｃ,,求的长.例1、解：由正弦定理，得∵Ａ＝２Ｃ∴∴又　∴　　　　　　　①由余弦定理，得　　　　　　　②入②，得　∴例2、如图所示，在等边三角形中，为三角形的中心，过的直线交于，交于，求的最大值和最小值．例2、【解】由于为正三角形的中心，∴，，设，则，在中，由正弦定理得：，∴，在中，由正弦定理得：，∴，∵，∴，故当时取得最大值，所以，

3、当时，此时取得最小值．变式1、在△ABC中，角A、B、C对边分别为，已知，（１）求∠Ａ的大小；（２）求的值变式1、解（１）∵∴在△ABC中，由余弦定理得∴∠Ａ＝（２）在△ABC中，由正弦定理得∵∴变式2、在中，为锐角，角所对的边分别为，且（I）求的值；（II）若，求的值。变式2、解（I）∵为锐角，∴∵∴（II）由（I）知，∴由得，即又∵∴∴∴（二）考查正弦定理与余弦定理在向量与面积上的运用例3、如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形

4、ABC。问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？例3、解：设，在△AOB中，由余弦定理得：于是，四边形OACB的面积为S=S△AOB+S△ABC因为，所以当，，即时，四边形OACB面积最大．例4、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，．（1）求角C的大小；（2）求△ABC的面积．例4、解：（1）由∴4cos2C－4cosC＋１＝０解得　∵0°＜C＜180°,∴C=60°∴C＝60°（2）由余弦定理得C2＝a2＋b2－2abcosC即7＝a2＋b2－ab①又a＋b＝5∴a2＋b2

5、＋2ab＝25②由①②得ab＝6∴S△ABC＝变式3、已知向量，，且，其中是△ABC的内角，分别是角的对边.(1)求角的大小；（2）求的取值范围.变式3、解：（1）由得由余弦定理得∵　　∴(2)∵　　　∴∴=∵∴∴　∴即.（三）考查三角形形状的判断例5、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,b=acosC,且△ABC的最大边长为12，最小角的正弦值为。（1）判断△ABC的形状；（2）求△ABC的面积。例5、解：（1）b=acosC，由正弦定理，得sinB=sinAcosC,（#）B

6、=,sinB=sin(A+C),从而（#）式变为sin(A+C)=sinAcosC，cosAsinC=0,又A，CcosA=0，A=，△ABC是直角三角形。（2）△ABC的最大边长为12，由（1）知斜边=12，又△ABC最小角的正弦值为，Rt△ABC的最短直角边为12=4，另一条直角边为S△ABC==16变式4、在△ABC中，若.(1)判断△ABC的形状；(2)在上述△ABC中，若角C的对边，求该三角形内切圆半径的取值范围。变式4、解：（1）由可得即C＝90°△ABC是以C为直角顶点得直角三角形

7、（2）内切圆半径内切圆半径的取值范围是例7、在△ABC中，已知，，试判断△ABC的形状。所以，△ABC为等边三角形。变式8、在△ABC中，cos2＝，(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形∴＝，∴a2＋c2－b2＝2a2，即a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．答案：B变式9、△ABC中，若sinA=2sinBcosC，sin2A=sin2B+sin2C，试判断△ABC的形状。变式9、解:等腰直角三角形

8、;（四）考查应用：求角度、求距离、求高度例6、在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处（）海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2海里的C处的缉私船奉命以海里/每小时的速度追截走私船，此时，走私船正以10海里/每小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向能最快追上走私船？