高数竞赛7 级数.ppt

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1、专题7无穷级数1常数项级数的概念和性质2常数项级数审敛法3幂级数4函数展开成幂级数5函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质6傅立叶级数7一般周期函数的傅立叶级数级数收敛的概念定义如果级数的部分和数列有极限，即则称无穷级数收敛，这时极限无穷级数发散。叫做这级数的和；如果没有极限，则称二、收敛级数的基本性质性质3在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性。性质1如果级数收敛于和，则级数也敛，且其和为。性质2如果级数、分别收敛于和则级数也收敛，且其和为性质2‘收敛级数与发散级数的线性组合仍然发散性

2、质4收敛级数具有结合律，则对这级数的项任意加括号后所成的级数收敛。（反之不成立，发散级数不具有结合律）性质5（级数收敛的必要条件）如果级数收敛，则它的一般项趋于零，即数项级数审敛法基本思想Sn单调有界夹逼定理2常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法二、一般项级数及其审敛法一、正项级数审敛法定理1正项级数收敛的充分必要条件是：它的部分和数列有界。（比较审敛法）设和都是正项级数，且若级数收敛，则级数收敛；若级数发散，则级数也发散。定理2正项级数概念各项都是正数或零的级数称为正项级数。定理3（比较审敛法的极限形式

3、）设和都是正项级数，(1)如果，且级数收敛,则级数收敛；(2)如果或且级数发散,则级数发散。同阶无穷小为一般项的级数具有相同的敛散性。例2判定级数的收敛性。例3.判定级数的收敛性。例4判定级数的收敛性。解因为根据比值审敛法可知所给级数发散。定理4（比值审敛法，达朗贝尔判别法）设为正项级数，如果则当时级数收敛；当或时级数发散；当时级数可能收敛也可能发散。定理5（根值审敛法，柯西判别法）设为正项级数，如果，则当时级数收敛；（或）时级数发散；时级数可能收敛也可能发散。例5判定级数的收敛性。解因为所以，根据根植审敛法

4、知所给级数收敛。定理6（极限审敛法）设为正项级数，(1)如果(2)如果,而发散。收敛。例6判定级数的收敛性。解因故根据极限审敛法，知所给级数收敛。收敛。交错级数交错级数是指这样的级数，它的各项是正负交错的，从而可以写成的形式：或其中都是正数。二、任意项级数及其审敛法定理7（莱布尼茨定理，交错级数审敛法）(1)(2)则级数收敛，且其和其余项的绝对值如果交错级数满足条件：绝对收敛条件收敛有关性质（1）绝对收敛级数具有交换律，也即级数中无穷多项任意交换顺序，得到级数仍是绝对收敛，且其和不变。（2）条件收敛级数的正项

5、或负项构成的级数，即或一定是发散的。条件收敛级数审敛法狄利克雷判别法：的部分和有界，且单调趋于0，则收敛。阿贝尔判别法：收敛，且单调有界，则收敛。例题7.2-7.4但是交错级数是莱布尼茨型级数，收敛，因此原级数条件收敛所以，原级数例题7.7例7判断级数的敛散性。（观察内部特点，第二层根号内是有极限的序列）解法1：换元后达朗贝尔法例7判断级数的敛散性。（观察根号2的特点，考虑三角换元）解法2：达朗贝尔法例7.8设试判断级数的敛散性。分析：An与Sn的关系，Sn的性质。正项级数cn的和有界，收敛，由比较判别法。。

6、。。。例7.11含积分的问题函数项级数幂级数一．幂级数及其收敛域1．幂级数概念2．幂级数的收敛域（收敛域分三种情形）（1）收敛域为(-∞,∞)，亦即对每一个x皆收敛。我们称它的收敛半径R=∞。（2）收敛域仅为原点（3）收敛域为[-R,+R],(-R,+R],[-R,+R）,(-R,+R)中的一种所以求幂级数的收敛半径R非常重要，（1），（2）两种情形的收敛域就确定的。而(3)的情形，还需讨论两点上x=R,x=-R的敛散性。三．幂级数的性质1．四则运算2．分析性质(2)S(x)在(-R,+R)内有逐项积分公式且

7、这个幂级数的收敛半径也不变（3）若在成立。则有下列性质（i）成立（ii）成立（iii）在不一定收敛也即不一定成立，如果在发散，那么逐项求导后的级数在一定发散，而逐项积分后的级数在有可能收敛。四．幂级数求和函数的基本方法1．把已知函数的幂级数展开式（§8.3将讨论）反过来用.2．用逐项求导和逐项积分方法以及等比级数的求和公式3．用逐项求导和逐项积分方法化为和函数的微分方程，从而求微分方程的解把已知函数的幂级数展开式（1）（2）（3）（4）（5）（6）（为实常数）例1．求幂级数的收敛半径。例2．已知幂级数的收敛半

8、径，求幂级数的收敛区间。例3．已知幂级数在处收敛，在处发散，求其收敛域。例4．设，，讨论幂级数的收敛域。（1）当时，条件收敛故收敛域为发散（2）当时，绝对收敛，绝对收敛故收敛域为例5：P286：32，33二．求幂级数的和函数例1．求下列幂级数的和函数解：可求出收敛半径故收敛域为例2．求下列级数的和函数解：三。将函数展开成幂级数内容要点函数展成幂级数的方法1．套公式2．逐项求导积分3．变量替换法练习1