关于用Lagrange乘数法求函数最值的充分条件.pdf

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1、第30卷第1期河南科学Vol_30No．12012年1月HENANSCIENCEJan．2012文章编号：1004—3918(2012)01_0024—03关于用Lagrange乘数法求函数最值的充分条件沈晨，宋冬梅，刘珊(1．中国石油大学理学院计算与应用数学系，山东青岛266580：2．中国石油大学地球科学与技术学院测绘与地理信息工程系，山东青岛266580)摘要：对于多元函数在约束条件下的最值问题，给出了有关充分条件及其对具体问题的应用．关键词：多元函数；最值；Lagrange乘数法；半正定阵中图分类号：0172文献标识码：AOnSufici

2、entConditionforSolvingMax／MinProblemsbyMeansofLagrangeMethodofMultipliersShenChen，SongDongmei，LiuShan(1．DepartmentofComputationalandAppliedMathematics，ChinaUniversityofPetroleum，Qingdao266580，ShandongChina：2．DepartmentofMappingandGeographicInformationEngineering，ChinaUniversi

3、tyofPetroleum，Qingdao266580，ShandongChina)Abstract：Somesufficientconditionsformax／minproblemswithconstraintsweregiven，andtheapplicationtosomeconcreteproblemwasdemonstrated．Keywords：functionofseveralvariables；maximumandminimum；Lagrangemethodofmultipliers；positivesemi-definitem

4、atrix对于受条件约束的最大、最小值问题，在许多文献中，往往是先求出Lagrange函数的驻点，然后根据问题的具体情况或实际意义加以考察来得到结论，但对于某些情形，却不易进行严格的论证_l_2】．本文对于多元函数在约束条件下的最值问题，给出有关充分条件，可用于某一类最值问题的求解．1主要结论及证明设R为实数域，m和P均为正整数，且m+p维空间正”尹=(l：l，⋯，忡)，∈R，i=1，⋯，，n+p)具有实线性空间的代数结构，即Ⅱ呻中有如下定义的加法和数乘运算l3l：+y(-Xl+yl，⋯，，唧+唧)，Ax=(Ax1，⋯，A唧)，其中：：1，⋯，)

5、，)，=(’，1，⋯，)∈R唧，AEⅡ．命题1设D为R忡中的开集，给定目标函数厂)-．厂“，帅)和约束条件．其中，函数f,gr(r=l，⋯，p)均在D内有二阶连续偏导数．构造Lagrange函数、，L，A)=，)+趟A蜀)，收稿日期：2011-09—15基金项目：国家自然科学基金(40501073)作者简介：沈晨(1959一)，男，江苏靖江人，副教授，主要从事一般拓扑学和分形几何学研究．2012年1月沈晨等：．关于用Lagrange乘数法求函数最值的充分条件一25一冥中=1，⋯，，唧)，A=(A1，⋯，ap)∈．又设(口，A)∈R呐为Lagran

6、ge函数的驻点，此处0∈印，A=(A”，Ap)∈，且Vb∈D：(口+(6一10≤￡≤1)CD．若VQo，Q”，∈Rm+P，m+P阶方阵(cQ0))O2glm出+p+．．(c是半正定的(或半负定的)，则目标函数厂在条件(2)的约束下，于点a取得最小值(或最大值)．证明记D1=∈R忡l满足约束条件(1))，则a∈D1．Yx∈D1，记h=x一0，则x=a+h．由多元函数的泰勒公式嘲，∈(O，1)(O，1，⋯，p)：f(x)-)-=~m+pof_(一2-印^．(3)k,l=l。(叶(=∑帅堕(+手∑t~2gi(叶(，⋯，p)．(4)k=lO~k将式(4)

7、中各式分别乘以A一，A，并加到(3)式上，得2If(x)-]=∑。[(一h)hkht+A102g。l⋯02gph)hkh1]=Em+P[07(吣AOzgl(⋯M(．。由此，即证得结论．同理可证下面的：命题2在命题1的条件下，若(2)式中的m+p阶方阵是正定的(或负定的)，则目标函数厂在条件(1)的约束下，在且仅在点a取得最小值(或最大值)．推论1在命题1的条件下，若m+p阶方阵o2f_(QA(cm+p一’p)均为D上的常数方阵，且(cm+p+∑[cQ]是半正定的(或半负定的)，则目标函数／在条件(1)的约束下，于点a取得最小值(或最大值)．推论2

8、在命题1的条件下，若m阶方阵o2f_(QA[cm+p。一，p)均为D上的常数方阵，且o2f_(m+p一。[cQ是正定的(或负定的)，则目