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1、八（上）数学专题复习______将军饮马问题傅苏球2013年12月25日一、任务一-------------阅读理解1、问题提出1111、一一，早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题:将军每天从军营B出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的A地开会，应该怎样走才能使路程最短？从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．这个问题的解决并不难，据说海伦略加思索就解决了它．2、解决办法如图所示，从A出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线上，取A关于河岸的对称点A'，连结A'B，与河岸线相
2、交于C，则C点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到C，饮马之后，再由C沿直线走到B，所走的路程就是最短的．如果将军在河边的另外任一点C'饮马，所走的路程就是AC'+C'B，但是，AC'+C'B=A'C'+C'B>A'B=A'C+CB=AC+CB．可见，在C点外任何一点C'饮马，所走的路程都要远一些．这有几点需要说明的：（1）由作法可知，河流l相当于线段AA'的中垂线，所以AD=A'D,AC=A'C。（2）由上一条知：将军走的路程就是AC+BC，就等于A'C+BC，而两点确定一线，所以C点为最优。思考:解题思路是____________________________
3、___________________3、将军饮马问题的应用如图，有A、B两个村庄，他们想在河流l的边上建立一个水泵站，已知每米的管道费用是100元，A到河流的距离AD是1km，B到河流的距离BE是3km，DE长3km。请问这个水泵站应该建立在哪里使得费用最少，为多少？解：如图所作，C点为水泵站的位置。依题意，得：所铺设的水管长度就是AC+BC，即：A'C+BC=A'B的长度。因为EF=A'D=AD=1km,所以BF=BE+EF=4km又A'F=DE=3km在Rt△A'BF中，A'B2=A'F2+BF2所以：解得：A'B=5km所以总费用为：5×1000×100=50000
4、0（元）二、任务二-----------将军饮马问题在几何中的应用1、如图，已知正方形ABCD的边长是8，点E在BC边上，且CE=2，点P是对角线BD上的一个动点，求PE+PC的最小值．2、如图,∠AOB内有一点P,在OA,OB上分别找出点M,N,使△PMN的周长最短3、如图,∠AOB=45°,P是∠AOB内一点,PO=10,Q、R分别是OA、OB上的动点,求△PQR周长的最小值。二、任务三-----------将军饮马问题在函数中的应用1、如图，在直角坐标系中，x轴上的动点M（x，0）到两点P（5，5），Q(2，1)的距离分别为MP和MQ，那么当MP+MQ取最小值时，在x
5、轴上作出M点，并求点M的坐标以及MP+MQ的最小值.2、已知，A(-1,0),B(3,0),C(0,-3),M(1,m),点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时，求M的坐标。3、如图，当四边形PABN的周长最小时，a=_____变式:若P,Q一个在y轴上，一个在x轴上，如何确定P,Q位置？四、链接中考1、（荆门中考）一次函数y=kx+b的图像与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）。（1）求该函数的解析式；（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为O上一动点，求PC+PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标。2、（（2011•济宁）去冬今春，济宁市遭遇了
6、200年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A和李村B送水．经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系（如图）．两村的坐标分别为A（2，3），B（12，7）．（1）若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥哦多远的地方可使所用输水管道最短？（2）水泵站建在距离大桥哦多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？3在平面直角坐标系中，有A，B两个点，其中A（-6,3），B（-2,5）。（1）若一只青蛙从A点跳到x轴上一点P处，再从P点跳到B点，则青蛙所跳的路程最短时点P的坐标是（）。（
7、2）若这只青蛙先从A点出发跳到B点，再从B点跳到y轴上的C点，继续从C点跳到x轴上的D点，最后从D点回到A点（青蛙每次所跳的距离不一定相等），当青蛙四步跳完的路程最短时，直线CD的解析式是（）
