将军饮马模型.doc

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1、将军饮马问题将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题（轴对称是工具，最短距离是题眼）。所谓轴对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作轴对称。而最短距离是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由。比如题目经常会出现线段a+b这样的条件或者问题。一旦出现可以快速联想到将军饮马问题，然后利用轴对称解题。1.将军饮马故事“将军饮马”问题是数学问题中的经典题目，主要转化成“两点之间线段最短问题”原题：如图，一位将军，从A地出发，骑马到河边给马饮水，然后再到B地，问怎样选择饮水的地点，才能使所走的路程最短？•A•B模型一：一条定直线，同侧两定点在直线l的同侧有两点A,B,在L上求一

2、点P，使得PA+PB值最小。一般做法：作点A（B）关于直线的对称点，连接A’B，A’B与直线交点即为所求点。A’B即为最短距离。理由：A’为A的对称点，所以无论P在直线任何位置都能得到AP=A’P。所以PA+PB=PA’+PB。这样问题就化成了求A’到B的最短距离，直接相连就可以了。例一：某供电部门准备在输电主干线L上连接一个分支线路，分支点为M，同时向新落成的A、B两个居民小区送电。已知两个居民小区A、B分别到主干线的距离AA1=2千米，BB1=1千米，且A1B1=4千米。（1）如果居民小区A、B位于主干线L的两旁，如图（1）所示，那么分支点M在什么地方时总路线

3、最短？最短线路的长度是多少千米？（2）如果居民小区A、B位于主干线L的同旁，如图（2）所示，那么分支点M在什么地方时总路线最短？此时分支点M与A1的距离是多少千米？•A•B•B•A•A’•B’•A’•B’LL模型二：一条定直线，一定点，一动点如图，已知直线L和定点A，在直线K上找一点M，在直线L上找一点P，使得AP+PB值最小。模型三：一定点，两条定直线如图，在∠OAB内有一点P，在OA和OB各找一个点M、N，使得△PMN周长最短（题眼）。一般做法：作点P关于OA和OB的对称点P1、P2。连接P1P2。P1P2与OA、OB的交点即为所求点。P1P2即为最短周长。理

4、由：对称过后，PM=P1M，PN=P2N。所以PM+PN+MN=P1M+P2N+MN。所以问题就化成了求P1到P2的最短距离，直接相连就可以了。模型四：两定点，两条定直线如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上做点A，B，是四边形PAQB的周长最小。练习题：1.如图，点P是∠AOB内一点，点M，N分别在OA，OB上运动，若∠AOB=30度，OP=4，则三角形周长的最小值为多少。2..如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值是多少？ABCDMN3.如图所示，在边长为6的菱形ABCD中,∠DAB=600

5、，E为AB的中点，F是ACABCDEF上一动点，则EF+BF的最小值是多少？••4.如图，中，BC＝4，，P为BC上一点，过点P作PD//AB，交AC于D。连结AP，问点P在BC上何处时，⊿APD面积最大？