微积分教学课件1-习题课.ppt

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1、（一）极限的概念（二）连续的概念第二章习题课左右极限两个重要极限求极限的常用方法无穷小的性质极限存在的充要条件判定极限存在的准则无穷小的比较极限的性质数列极限函数极限等价无穷小及其性质唯一性无穷小两者的关系无穷大1、极限的定义左极限右极限无穷小:极限为零的变量称为无穷小.绝对值无限增大的变量称为无穷大.无穷大:在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.无穷小与无穷大的关系2、无穷小与无穷大定理1在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无

2、穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.无穷小的运算性质定理推论1推论23、极限的性质4、求极限的常用方法a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.5、判定极限存在的准则(夹逼准则)(1)(2)6、两个重要极限定义:7、无穷小的比较定理(等价无穷小替换定理)8、等价无穷小的性质9、极限的唯一性左右连续在区间[a,b]上连续连续函数的性质初等函数的连续性间断点定义连续定义连续的充要条件连续函数的运算性质非初等函数的连续性振荡间断点无穷间断点跳跃间断点可去间断点第一类第二类1、连续的

3、定义定理3、连续的充要条件2、单侧连续4、间断点的定义(1)跳跃间断点(2)可去间断点5、间断点的分类跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点:可去型第一类间断点跳跃型0yx0yx0yx无穷型振荡型第二类间断点0yx第二类间断点6、闭区间的连续性7、连续性的运算性质定理定理1严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.定理28、初等函数的连续性定理3定理4基本初等函数在定义域内是连续的.定理5一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.9、闭区间上连续函数的性质定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.定理2(有界性定理)在

4、闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.二、典型例题例1、等价无穷小替换例2、求解:需要对参数x进行讨论综上所述进一步指出所求函数的间断点和间断点的类型？例3解将分子、分母同乘以因子(1-x),则例、P51、4例4、解、根据夹逼定理有：例5（P773）解：(先证明存在性)显然此数列为单调递增数列分析上界：假设极限存在容易验证：，根据单调有界准则，数列极限存在，设为A假设则(求极限)对两边分别求极限则：极限值为：P71例8、例9例6解解法讨论依据：无穷小替换、特殊极限如：P72例11、18例7P74、14例8解例9x=-1为

5、第一类间断点，且为跳跃型间断点例10作业P771、(1),(3),(6),(7),(9),(11),(14),(15)5、（2）（4）6、（2）（3）8、9、（2）11、12、16（3）小测验二、一、三、四、三、典型例题例5解P73、14作业(1),(3),(6),(7),(9),(11),(14),(15)3.(4)(2),(3)(1)10.11.(1),(3)12.16.(3)例7证明讨论:由零点定理知,综上,测验题测验题答案