(4)微分方程的应用.ppt

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1、微分方程的应用.几何与物理应用微分方程的应用分几何与物理应用，几何应用主要是根据所满足的几何条件列出微分方程，再根据方程所属类型求解；物理应用题型常有两种类型：其一根据题所涉及的物理意义直接给出方程.所涉及的物理知识主要是物体的受力分析及牛顿运动定律等；其二是需要应用元素法来建立微分方程的应用题，这类问题是微分方程的难点；此外还有一类综合应用题既要用到几何知识又要用到物理知识；下面我们分类通过例题讲解。一。几何应用题例1.设曲线L过点（1,1）曲线上任一点p(x,y)处的切线交x轴于点T，若︱pT︱=︱oT︱求曲线L的方

2、程。（解为：例2.光滑曲线L过原点与点（2,3），任取曲线上任一点p(x,y)过p点作两坐标轴的平行线pA，pB，pA与x轴和曲线L围成的面积等于pB与y轴和L围成面积的2倍，求曲线L的方程解得：（抛物线）（复习分离变量型及齐次方程解法）例3.在上半平面求一条凹弧，其上任一点p(x,y)处的曲率等于此曲线在该点法线段PQ长度的倒数（Q为曲线与x轴的交点），且曲线在点（1,1）处的切线与x轴平行。解：曲线在点P处的曲率为：因过该点法线方程为：（双曲正弦线），初值：依题意得初值问题：，此方程是不显含x的二阶方程，解之并带入初

3、值得：复习二阶方程的两种特殊形式及解法。例4（考研真题）设L是一条平面曲线，其上任一点P(x,y)（x>0）到坐标原点的距离恒等于该点处切线在y轴上的截距，且L经过（1/2,0）点，（1）试求曲线L的方程（2）求L位于第一象限的一条切线使该切线与L及两坐标轴所围成的图形的面积最小。解（1）为最小值点于是所求切线方程例5.（考研题）求微分方程：xdy+（x-2y）dx=0的一个解y=y(x)使得由曲线y=y(x)与直线：x=1，x=2以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积最大。解：方程为：为最小值点，所以解为：

4、例6（考研题）设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且过曲线y=y(x)上任一点，区间【0，x】上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为，并设，求此曲线的方程。P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线及x轴所围成的三角形面积记为解：切线方程：与x轴的交点：在x轴上的截距：，因由题知：，由具体解法可用1）降阶法；2）凑导数法解得：注：微分方程两端乘可凑成：得初值问题：例7.求与抛物线族中每条曲线均正交的的曲线（即交点处切线相互垂直）正交轨线。（椭圆族）解：即为抛物线上任一点处切线斜率，故正交轨线上任一点处切线斜率为：

5、正交轨线满足的微分方程解之得：（椭圆族）二。物理应用（一）利用物理意义直接列方程例8设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却.试求物体温度随时间的变化规律.（冷却定理：物体冷却速度与温差成正比）例9在一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的按照牛顿冷却定律开始下降．假设两个小时后尸体温度变为并且假定周围空气的温度保持不变，试求出尸体温度随时间的变化规律．又如果尸体被发现时的温度是时间是下午4点整，那么谋杀是何时发生的？即谋杀大约在上午7时36分发生例10设降落伞从跳伞塔下落后,所受空气阻力与速度成正比,

6、并设降落伞离开跳伞塔时速度为零,求降落伞下落速度与时间的关系.例11（考研题）在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的。设该人群的总人数为N，在t=0时刻已掌握新技术的人数为，在任意时刻t已掌握新技术的人数为（将视为连续可微变量），其变化率与已掌新技术的人及未掌握新技术的人的乘积成正比，比例系数k>0，求解：例12.（考研题）从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y（从海平面算起）与下沉速度v之间的函数关系，设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉的过程中还受到阻力与浮

7、力的作用。设仪器的质量为m，体积为B海水密度为仪器所受阻力与下沉速度成正比，比例系数为k>0，试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系式y=y(v).解：取沉放点为原点O，y轴正向铅直向下，由牛顿第二定律得：解法1.上式变为：解此常系数二阶线性微分方程得解；y=y(t)联立求出y=y(v).（以下略）及v(t)=注：本题也可按不显含x的特殊二阶方程求解由初值由初值得得：解法2.代入原式化成微分方程：解得：复习分离变量方程求解方法—分离变量方程例13（-考研题飞机降落问题）某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离在触地的

8、瞬间飞机尾部张开降落伞以增大阻力使飞机迅速减速并停下。现有一质量为9000kg的飞机着陆时的水平速度为700km/h经测试，减速伞打开后飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为k=问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？解：由题设，飞机的质量为m=9000kg，飞机着陆时的水平速度为=700km/h，从着陆点