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《2020年全国高中数学联赛山西赛区预赛试卷（通用）.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2020年全国高中数学联赛山西赛区预赛试卷（2020年9月2日上午8：30——11：30）一、选择题（每题7分共35分）1.由0,1,2,3,4,5六个数字能组成数字不重复且百位数字不是5的偶数有[]个A.360B.252C.720D.240解：末位是0的数共有个-，末位是2或4的数共有2(-)个.由加法原理，共有-+2(-)=252个.2.已知数列{}(n≥1)满足=-，且=1,若数列的前2020项之和为2020，则前2020项的和等于[]A.2020B.2020C.2020D.2020解：=-=(-)-=-,因此，对n≥
2、1，+++++=0，从而数列中任意连续6项之和均为0.2020=334×6+1,2020=334×6+2,所以前2020项之和为，即=2020，于是前2020项的和等于+=2020.所以选(C).3.有一个四棱锥，底面是一个等腰梯形，并且腰长和较短的底长都是1，有一个底角是，又侧棱与底面所成的角都是，则这个棱锥的体积是[]A.1B.C.D.解：这个体积是底边和高均为1的正六棱锥的体积的一半，因此4.若(n∈N+),则被3除的余数是A.0B.1C.2D.不能确定解：=[]=[]==-21(mod3).所以选(B).5.在边长为
3、12的正三角形中有n个点，用一个半径为的圆形硬币总可以盖住其中的2个点，则n的最小值是[]A.17B.16C.11D.10解：如图(1)，作一个分割，在每个交叉点上置一个点，这时任意两点间距离不小于4，4>2(硬币直径)，故这时硬币不能盖住其中的两个点，说明n=10是不够的.如图(2)，另作一个分割，得到16个全个等的边长为3的正三角形，其中“向上”的三角形共有10个，它们的外接圆的半径正好是.借助图(3)可以证明：只要图(2)中的10个“向上”的三角形都用硬币覆盖，则三角形ABC完全被覆盖，这时若在三角形ABC内置11个点
4、，则必有一个硬币可以至少盖住其中的2个点.故n的最小值是11，所以选(C).二、填空题（每题8分共40分）6.盒子里装有大小相同的球8个，其中三个1号球，三个2号球，两个3号球.第一次从盒子中先任取一个球，放回后第二次再任取一个球，记第一次与第二次取到的球上的号码的积为随机变量ξ，则ξ的数学期望Eξ=解：ξ可能取的值是1,2,3,4,6,9P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,P(ξ=4)=,P(ξ=6)=,P(ξ=9)=,Eξ=×1+×2+×3+×4+×6+×9==3.375.7.在锐角三角形ABC中，设tanA
5、,tanB,tanC成等差数列且函数f(x)满足f(cos2C)=cos(B+C-A)，则f(x)的解析是为解：tanA=-tan(B+C),tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,tanA+tanC=2tanB,于是有3tanB=tanAtanBtanC,因为B为锐角，所以tanB≠0,所以tanAtanC=3,令cos2C=x,则=，所以===所以cos(B+C-A)=cos(-2A)=-cos2A=1-2=1-=,即f(x)=.8.的末三位数是_______解：(10i+1)(10i+3)(10i+7)
6、(10i+9)=[100+100i+9][100+100i+21]=10000+3000i(i+1)+189189(mod1000).所以=189×100900(mod1000).所以末三位是9009.集合A中的元素均为正整数，具有性质：若，则12-，这样的集合共有个.解：从集合A的性质可得，A必然是六个集合{1,11},{2,10},{3,9},{4,8},{5,7},{6},中某几个的并集，因此符合要求的A共有+++++=-1=63个.10.抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，直线x+y-1=0与抛物线相交于A、B
7、两点，且
8、AB
9、=.在抛物线上是否存在一点C，使△ABC为正三角形，若存在，C点的坐标是.解：设所求抛物线方程为，由弦长
10、AB
11、=建立关于p的方程.解得p=或p=-(舍去)，故抛物线方程为.设AB的中点为D(x0,y0)，抛物线上存在满足条件的点C(x3,y3)，由于△ABC为正三角形.所以CD⊥AB，
12、CD
13、=
14、AB
15、=.由CD⊥AB得①由②解①②得，不在抛物线上.故抛物线上存在一点(,)三、解答题（每题25分共75分）11.三个等圆⊙O1,⊙O2,⊙O3,两两外切且均内切于⊙O，从⊙O上任意一点向三个小圆引三条切线，求证
16、：其中必有一条切线长等于另两条切线长的和.证明：设三个小圆的半径为r，大圆的半径为R，并设三个小圆切大圆于A、B、C，P是大圆上任意一点，由于三角形ABC是等边三角形，有PA=PB+PC(如图).设P向⊙O1,⊙O2,⊙O3所引三条切线的切点分别是,,,设线段PA，PB，PC分别交⊙O1,
