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时间:2020-06-11
《2020高中数学 第二章 变化率与导数及导数的应用 疑难解析导数概念素材 北师大版选修1-1(通用).doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、有关导数概念的几个疑难问题一、导数相关概念1.导数的定义包含了两层意思:可导条件和导数概念。函数y=在x点可导是在x点的性质,因为函数并不是一定在定义域内处处可导的。如果不存在,称函数在x点不可导;若存在,则称此极限值为函数在该点的导数。2.y=在x点可导有以下三个条件:①y=在x点处及其附近有意义;②左极限及其右极限都存在;③=,即左右极限相等。三个条件中的任何一个受到破坏,函数在该点就不可导。3.导函数y=与原来的函数y=有相同的定义域(a,b).4.“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”三个概念既有联系又有区别:①.函数在一点处的导数y=是一个
2、常数,不是变量.②.函数的导数,是针对某一区间内任意点x而言的.函数y=在区间(a,b)内每一点都可导,是指对于区间(a,b)内每一个确定的值x,都对应着一个确定的导数y=.根据函数的定义,在开区间(a,b)内就构成了一个新的函数,就是函数y=的导函数y=.③.函数y=在点x处的导数y=就是导函数y=在点x=x处的函数值,即=
3、.5.导数与连续的关系:若函数y=在x处可导,则此函数在x处连续,但逆命题不成立,即函数y=在x处连续,未必在x处可导,也就是说,连续性是函数具有可导性的必要条件,而不是充分条件.因而可导性比连续性要求更高.下面用两个例题说明这个问
4、题.例1求证:若函数在点x处可导,则函数在点x处连续.证明:∵函数在点x处可导,∴在点x处有:[-]==(·)=·=·0=0,∴=,即函数在点x处连续.例1求证:函数=
5、x
6、在点x=0处连续,但在x处不可导.证明:∵①=0;②
7、x
8、=
9、x
10、=
11、x
12、=0;③=.∴=
13、x
14、在点x=0处连续.①又∵函数=
15、x
16、在点x=0及其附近有意义;②=====;③=-1,=1,即不存在,所以=
17、x
18、在点x=0处不可导.综上所述,函数=
19、x
20、在点x=0处连续,但在在x处不可导.综上,函数y=在点x处有定义、有极限、连续、可导是四个不同的概念,它们之间的关系是:在点x处有定义,
21、不一定在x处连续;但在点x处连续,一定在点x处有定义,即在点x处有定义是在点x处连续的必要而不充分的条件。在点x处连续,则在点x处一定有极限,且=;但在点x处有极限,不一定在点x处连续,即在点x处连续是在点x处有极限的充分而不必要的条件。在点x处连续是在点x处可导的必要而不充分的条件。
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