2020高中数学 第二章 变化率与导数及导数的应用 疑难解析导数概念素材 北师大版选修1-1（通用）.doc

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1、有关导数概念的几个疑难问题一、导数相关概念1．导数的定义包含了两层意思：可导条件和导数概念。函数y=在x点可导是在x点的性质，因为函数并不是一定在定义域内处处可导的。如果不存在，称函数在x点不可导；若存在，则称此极限值为函数在该点的导数。2．y=在x点可导有以下三个条件：①y=在x点处及其附近有意义；②左极限及其右极限都存在；③=，即左右极限相等。三个条件中的任何一个受到破坏，函数在该点就不可导。3．导函数y=与原来的函数y=有相同的定义域(a，b)．4．“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”三个概念既有联系又有区别：①．函数在一点处的导数y=是一个

2、常数，不是变量．②．函数的导数，是针对某一区间内任意点x而言的．函数y=在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内每一个确定的值x，都对应着一个确定的导数y=．根据函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，就是函数y=的导函数y=．③．函数y=在点x处的导数y=就是导函数y=在点x=x处的函数值，即=

3、．5．导数与连续的关系：若函数y=在x处可导，则此函数在x处连续，但逆命题不成立，即函数y=在x处连续，未必在x处可导，也就是说，连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件．因而可导性比连续性要求更高．下面用两个例题说明这个问

4、题．例1求证：若函数在点x处可导，则函数在点x处连续．证明：∵函数在点x处可导，∴在点x处有：[－]==(·)=·=·0=0，∴=，即函数在点x处连续．例1求证：函数=

5、x

6、在点x=0处连续，但在x处不可导．证明：∵①=0；②

7、x

8、=

9、x

10、=

11、x

12、=0；③=．∴=

13、x

14、在点x=0处连续．①又∵函数=

15、x

16、在点x=0及其附近有意义；②=====；③=－1，=1，即不存在，所以=

17、x

18、在点x=0处不可导．综上所述，函数=

19、x

20、在点x=0处连续，但在在x处不可导．综上，函数y=在点x处有定义、有极限、连续、可导是四个不同的概念，它们之间的关系是：在点x处有定义，

21、不一定在x处连续；但在点x处连续，一定在点x处有定义，即在点x处有定义是在点x处连续的必要而不充分的条件。在点x处连续，则在点x处一定有极限，且=；但在点x处有极限，不一定在点x处连续，即在点x处连续是在点x处有极限的充分而不必要的条件。在点x处连续是在点x处可导的必要而不充分的条件。