高中数学 第二章 变化率与导数及导数的应用 导数的计算知识归纳素材 北师大版选修1-1

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1、知识归纳：导数的计算一、几个常用函数的导数1.公式1　C′=0(C为常数)2.公式2　(xn)′=nxn-1(n∈Q)3.公式3　(sinx)′=cosx4.公式4　(cosx)′=-sinx5.y=C(C是常数)，求y′.解：y=f(x)=C，∴Δy=f(x+Δx)-f(x)=C-C=0,=0.Y′=C′==0,∴y′=0.6.y=sinx,求y′解：Δy=sin(x+Δx)-sinx=sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx,,∴=-2sinx·1·0+cosx=cosx.∴y′=cosx.7.y=cosx,求y′.解：Δy=cos(x+Δx)-cosx

2、=cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx,=-2cosx·1·0-sinx=-sinx,∴y′=-sinx.二、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则1．常见函数的导数公式：（1）(C为常数)；（2）()；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．2．导数的运算法则：法则1　．法则2,．法则3．3.和或差的导数等于导数的和或差.证明：y=f(x)=u(x)±v(x),Δy=u(x+Δx)±v(x+Δx)-［u(x)±v(x)］=u(x+Δx)-u(x)±［v(x+Δx)-v(x)］=Δu±Δv.∴.∴=u′(x)±v′(x),即y′=(u±

3、v)′=u′±v′.4.两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数，即(uv)′=u′v+uv′.证明：y=f(x)=u(x)v(x),Δy=u(x+Δx)v(x+Δx)-u(x)v(x)=u(x+Δx)v(x+Δx)-u(x)v(x+Δx)+u(x)v(x+Δx)-u(x)v(x)=［u(x+Δx)-u(x)］v(x+Δx)+u(x)·［v(x+Δx)-v(x)］.∴.∵v(x)在点x处可导，∴v(x)在点x处连续.∴当Δx→0时，v(x+Δx)→v(x).∴=u′(x)v(x)+u(x)v′(x).∴

4、y′=(uv)′=u′v+uv′.5.两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方,即(v≠0).证明：,===,.∵v(x)在点x处可导，所以v(x)在点x处连续,∴当Δx→0时，v(x+Δx)→v(x).∴,即.