高中数学 第二章 变化率与导数及导数的应用 变化的快慢与变化率教案1 北师大版选修1-1

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1、变化的快慢与变化率一、教学目标(1)理解瞬时速度，会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度(2)理解瞬时变化率概念，实际背景，培养学生解决实际问题的能力二、教学重点、难点重点：瞬时速度，瞬时变化率概念及计算难点：瞬时变化率的实际意义和数学意义三、教学过程（一）、复习引入1、什么叫做平均变化率?2、如何精确地刻画物体在某一瞬间的速度呢？（二）、例题分析例1：一个小球从高空自由下落，其走过的路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的函数关系为其中，g为重力加速度，试估计小球在t=5s这个时刻的瞬时速度．分析：当时间t从t0变到t1时，根据平均速度公式，可以求出从5s到6s

2、这段时间内小球的平均速度（m/s）．我们有时用它来近似表示t=5s时的瞬时速度。为了提高精确度，可以缩短时间间隔，如求出5～5.1s这段时间内的平均速度（m/s）。用它来近似表示t=5s时的瞬时速度．如果时间间隔进一步缩短，那么可以想象，平均速度就更接近小球在t=5s这个时刻的瞬时速度．解：我们将时间间隔每次缩短为前面的，计算出相应的平均速度得到下表：t0/st1/s时间的改变量（Δt）/s路程的改变量（Δs）/m平均速度/（m/s）55.10.14.9549.555.010.010.4949.04955.0010.0010.04949.004955.00010.0001

3、0.004949.000495…………可以看出，当时间t1趋于t0=5s时，平均速度趋于49m/s，因此，可以认为小球在t0=5s时的瞬时速度为49m/s。从上面的分析和计算可以看出，瞬时速度为49m/s的物理意义是，如果小球保持这一刻的速度进行运动的话，每秒将要运动49m．例2：如图所示，一根质量分布不均匀的合金棒，长为10m。x（单位：m）表示OX这段棒长，y（单位：kg）表示OX这段棒的质量，它们满足以下函数关系：。估计该合金棒在x=2m处的线密度．分析：一段合金棒的质量除以这段合金棒的长度，就是这段合金棒的平均线密度．解：由，我们可以计算出相应的平均线密度得到下表

4、x0/sx1/s长度x的改变量（Δx）/m质量y的改变量（Δs）/kg平均线密度/（kg/m）22.10.10.0700.7022.010.010.00710.7122.0010.0010.000710.7122.00010.00010.0000710.712…………可以看出，当x1趋于x0=2m时，平均线密度趋于0.71kg/m，因此，可以认为合金棒在x0=2m处的线密度为0.71kg/m。从上面的分析和计算可以看出，线密度为0.71kg/m的物理意义是，如果有1m长的这种线密度的合金棒，其质量将为0.71kg．（三）、抽象概括：对于一般的函数，在自变量x从x0变到x1

5、的过程当中，若设Δx=x1－x０，，则函数的平均变化率是，而当Δx趋于0时，平均变化率就趋于在点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢．（四）、交流思考思考：速度对于时间的瞬时变化率又是什么呢？1、速度的平均变化率：2、瞬时加速度：当无限趋近于0时，无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t0时的瞬时加速度．（五）、巩固提高1、一辆汽车按规律s＝3t2＋1做直线运动，求这辆汽车在t＝3秒时的瞬时速度．解析：∵Δs＝3(3＋Δt)2＋1－(3×32＋1)＝3Δt2＋18Δt，∴＝＝3Δt＋18.∵当Δt无限趋近于0时，无限趋近于18，∴这辆汽车在t＝3秒时的瞬时

6、速度的大小为18.2、某物体做匀速运动，其运动方程是s＝vt＋b，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度分别是多少？解析：∴当Δt无限趋近于0时，无限趋近于常数v，即物体在任意时刻的瞬时速度都是v.四、课堂小结1、瞬时变化率的定义2、求瞬时变化率的步骤五、布置作业课本习题3、4、5