高中数学 第二章 变化率与导数及导数的应用 典型例题导数的几何意义素材 北师大版选修1-1

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1、3.2导数的几何意义【例1】曲线f(x)=x3+2x+1在点M处的切线的斜率为2，求M的坐标【例2】由原点O向三次曲线y=x3-3ax2+bx(a≠0)引切线，切于不同于O的点P1(x1,y1).再由P1引曲线的切线，切于不同于P1的点P2(x2,y2),…,如此继续地作下去,得到点列{Pn(xn,yn)}，试回答下列问题：(1)求x1;(2)求xn与xn+1的关系；(3)当a＞0时，求证：当n为正偶数时有xn＜a,当n为正奇数时有xn＞a.参考答案例1：【分析】求f(x)的导数f′(x)，根据斜率为2，先求出M的横坐标，再代入到f(x)中得到纵坐标.【解】∵f(x)=x3+2x

2、+1，∴=3x2+2.∴f′(x)=3x2+2=2,x=0.又f(0)=1,∴M的坐标为(0，1)【点拨】先根据导数公式求出点的横坐标，再将横坐标代入函数式子求出纵坐标.例2：【分析】过Pn(xn,yn)的切线的斜率kn=f′(xn)，利用点斜式写出直线方程.又由于点Pn+1(xn+1,yn+1)也在直线上，所以坐标满足方程.于是建立xn与xn+1的递推关系.对于第(1)问,设P0(x0,y0)即为P0(0，0).因为原点也在曲线上，于是应该满足递推关系，求出x1.利用递推数列的知识求解xn的通项公式，最后运用分类思想给予证明.【解】(1)原点(0，0)，kn=f′(xn)，

3、∵f(x)=x3-3ax2+bx,∴f′(x)=3x2-6ax+b，f′(xn)=3xn2-6axn+b.∴k1=f′(x1)=3x12-6ax1+b.∴过P1的切线l1的方程为y-f(x1)=f′(x1)(x-x1).∵l1过点O(0，0)，∴-f(x1)=f′(x1)(0-x1).∴x13-3ax12+bx1=(3x12-6ax1+b)x1.又∵x1≠0，∴x12-3ax1+b=3x12-6ax1+b.∴2x12-3ax1=0.又x1≠0，∴.(2)过Pn的切线ln的方程为y-f(xn)=f′(xn)(x-xn),又∵ln过点Pn-1(xn-1,yn-1),∴f(xn-1)-

4、f(xn)=f′(xn)(xn-1-xn).∴xn-13-3axn-12+bxn-1-xn3+3axn2-bxn=(3xn2-6axn+b)(xn-1-xn).∴(xn-13-xn3)-3a(xn-12-xn2)+b(xn-1-xn)=(3xn2-6axn+b)(xn-1-xn).又∵xn-1≠xn,∴xn-12+xnxn-1+xn2-3a(xn+xn-1)+b=3xn2-6axn+b,∴xn-12+xnxn-1-2xn2+3a(xn-xn-1)=0.∴(xn-1-xn)(xn-1+2xn)-3a(xn-1-xn)=0.∴xn-1+2xn-3a=0,即.同理.(3),∴xn+1

5、-a=-(xn-a).∴数列{xn-a}是等比数列，且公比为-，首项为a.∴xn-a=a·(-)n-1.∴xn=a-a·(-)n.当n为正偶数时，xn=a-a·()n＜a;当n为正奇数时，xn=a+a·()n＞a.【点拨】本题考查的知识点较多，需要在以前学习的知识的基础上解决.