【金版学案】2020学年高中数学 第三章本章小结检测试题 新人教A版必修4（通用）.doc

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1、【金版学案】2020学年高中数学第三章本章小结检测试题新人教A版必修4三角函数求值►专题归纳对于三角函数求值主要有三种类型，即“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”．三种形式的题目本质上都是“给值求值”，只不过往往求出的值是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．►例题分析　已知α∈，β∈，且cos＝，sin＝－，求cos(α＋β)．分析：由已知条件要求cos(α＋β)，应注意到角之间的关系，α＋β＝－，可应用两角差的余弦公式求得．解析：由已知α∈得－α∈，∴－

2、α∈.又cos＝，∴sin＝－.由β∈得＋β∈，又∵sin＝sin＝－sin＝－，∴sin＝，∴cos＝.由－＝α＋β，得cos＝cos＝cos·cos＋sin·sin＝×＋×＝－.点评：三角变换是解决已知三角函数值求三角函数值这类题型的关键．所谓变换是指函数名称类型的变换及角的变换，两种变换相辅相成，互相利用．已知0<α<，0<β<，且3sinβ＝sin(2α＋β)，4tan＝1－tan2，求α＋β的值．分析：本题主要考查三角函数式的恒等变形及已知三角函数值求角，因为2α＋β＝α＋(α＋β)，β＝

3、(α＋β)－α，可先将条件式3sinβ＝sin(2α＋β)展开后求α＋β的正切值．解析：∵3sinβ＝sin(2α＋β)，即3sin＝sin(α＋β＋α)，整理得2sin(α＋β)cosα＝4cos(α＋β)sinα.即tan(α＋β)＝2tanα.又∵4tan＝1－tan2，∴tanα＝＝，tan(α＋β)＝2tanα＝2×＝1.又∵α＋β∈，∴α＋β＝.点评：对于给值求角的问题，角的范围分析很重要，是防止出现增解的重要手段．►跟踪训练1．已知cos＋sinα＝，则sin的值是(　　)A．－　　B

4、.　　C．－　　D.解析：∵cos＋sinα＝.∴cosα＋sinα＝，＝，sin＝，∴sin＝，∴sin＝－sin＝－.故选C.答案：C三角函数式的化简►专题归纳三角函数式的化简是对给定的三角函数式通过适当的三角变换，使之变为较简单的形式．化简三角函数式的常用方法有：①直接应用公式；②切割化弦；③异角化同角；④特殊值与特殊角的三角函数互化；⑤通分、约分；⑥配方去根号．三角函数式的化简是三角变换中非常重要的一种题型，是高考命题的热点，它常与三角函数的图象和性质联系出题，题型灵活多变，因而三角函数的化

5、简也是需要掌握的基本知识和基本技能．►例题分析　化简：.分析：本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系及角的变换，从角的特点及内在联系上探求.－α与＋α互余，可先用诱导公式减少角的种类．或－α与＋α均化为α的三角函数．解析：方法一　原式＝＝＝＝＝1.方法二　原式＝＝＝＝＝＝1.点评：(1)切弦共存时，两种方法均采用了切化弦这种技巧．(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，以上三个公式熟练地交替使用，可使问题得以顺利解决．(3)一公式结构的三角函数式化简一般

6、需要分子、分母出现可约式，再进行约分．化简(tan10°－)·.分析：本题中含有正切、正弦、余弦，一般先切化弦，还要注意到特殊值，联想到表示特殊角的三角函数．解析：原式＝·＝＝＝＝＝－2.►跟踪训练2.·＝(　　)A．tanα　　　　B．tan2α　　　C．1　　　D.解析：原式＝·＝＝tan2α.故选B.答案：B三角恒等式的证明►专题归纳三角函数等式的证明，包括无条件三角函数等式的证明和有条件三角函数等式的证明．对于无条件三角函数等式的证明，要认真分析等式两边三角函数式的特点，找出差异，化异角为同

7、角，化异次为同次，化异名为同名，寻找证明的突破口．对于有条件三角函数等式的证明，要认真观察条件式与欲证式的区别与联系，灵活使用条件等式，通过代入法，消元法等方法进行证明．►例题分析　求证：··＝tan.分析：本题主要考查二倍角公式及变形应用，因等式右端为tan，故可将在左边的角4x,2x，x化为形式．证明：∵左边＝··＝＝＝＝＝tan＝右边．∴等式成立．点评：要熟练掌握下列二倍角公式的变形．sinα＝，cosα＝，1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α，cos2α＝，sin2α＝

8、.　已知tan(α＋β)＝2tanβ，求证：3sinα＝sin(α＋2β)．分析：观察条件与结论间的差异可知：(1)函数名称的差异是正弦与正切，可考虑切化弦法化异为同．(2)角的差异是α＋β，β；α，α＋2β.通过观察可得已知角与未知角之间关系如下：(α＋β)－β＝α；(α＋β)＋β＝α＋2β，由此可化异为同．证明：由已知tan(α＋β)＝2tanβ可得＝，∴sin(α＋β)·cosβ＝2cos(α＋β)·sinβ.而sin(α＋2β)＝sin[(α＋β)＋β]＝si