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时间:2020-06-11
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1、立体几何大题1.如下图,一个等腰直角三角形的硬纸片ABC中,∠ACB=90°,AC=4cm,CD是斜边上的高沿CD把△ABC折成直二面角.ABC第1题图ABCD第1题图(1)如果你手中只有一把能度量长度的直尺,应该如何确定A,B的位置,使二面角A-CD-B是直二面角?证明你的结论.(2)试在平面ABC上确定一个P,使DP与平面ABC内任意一条直线都垂直,证明你的结论.(3)如果在折成的三棱锥内有一个小球,求出小球半径的最大值.2.如图,已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为3,侧棱长为4,
2、连结A1B,过A作AF⊥A1B垂足为F,且AF的延长线交B1B于E。(Ⅰ)求证:D1B⊥平面AEC;(Ⅱ)求三棱锥B—AEC的体积;(Ⅲ)求二面角B—AE—C的大小.ABCA1B1C1M第3题图3.如图,正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为1,点M在BC上,△AMC1是以M为直角顶点的等腰直角三角形.(I)求证:点M为BC的中点;(Ⅱ)求点B到平面AMC1的距离;(Ⅲ)求二面角M—AC1—B的正切值.4.如图,已知多面体ABCDE中,AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,三角形ACD是正三角形,且A
3、D=DE=2,AB=1,F是CD的中点.(Ⅰ)求证:AF∥平面BCE;(Ⅱ)求多面体ABCDE的体积;(Ⅲ)求二面角C-BE-D的正切值.5.已知:ABCD是矩形,设PA=a,PA⊥平面ABCD.M、N分别是AB、PC的中点.(Ⅰ)求证:MN⊥AB;(Ⅱ)若PD=AB,且平面MND⊥平面PCD,求二面角P—CD—A的大小;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求三棱锥D—AMN的体积.6.如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中,P、M、N分别为棱DD1、AB、BC的中点。(I)求二面角B1—MN—B的正切值;(I
4、I)证明:PB⊥平面MNB1;(III)画出一个正方体表面展开图,使其满足“有4个正方形面相连成一个长方形”的条件,并求出展开图中P、B两点间的距离。7.如图,四棱锥P—ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AD=2,点M、N分别在棱PD、PC上,且PC⊥平面AMN.(Ⅰ)求证:AM⊥PD;(Ⅱ)求二面角P—AM—N的大小;(Ⅲ)求直线CD与平面AMN所成角的大小.8.如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ACB=90°.BC=CC1=a,AC=2a.(I)求证:AB1⊥BC1;(II
5、)求二面角B—AB1—C的大小;(III)求点A1到平面AB1C的距离.9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=BC=2,BB1=3,连接BC1,过B1作B1E⊥BC1交CC1于点E(Ⅰ)求证:AC1⊥平面B1D1E;(Ⅱ)求三棱锥C1-B1D1E1的体积;(Ⅲ)求二面角E-B1D1-C1的平面角大小10.在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,E为DC的中点,沿AE将△AED折起,使二面角D-AE-B为60 .(Ⅰ)求DE与平面AC所成角的大小;(Ⅱ)求二面角D-EC-B的大小.ADBCE
6、ABCED第10题图11.直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=CB=AA1=2,∠ACB=90°,E是BB1的中点,D∈AB,∠A1DE=90°.(Ⅰ)求证:CD⊥平面ABB1A1;(Ⅱ)求二面角D-A1C-A的大小.12.如图,已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中,∠BCA=90°,AC=BC=a,点A1在底面ABC上的射影ABB1C1A1DC恰为AC的中点D,BA1⊥AC1。(I)求证:BC⊥平面A1ACC1;(II)求点A1到AB的距离(III)求二面角B—AA1—C的正切值13.如图,正三棱柱
7、AC1中,AB=2,D是AB的中点,E是A1C1的中点,F是B1B中点,异面直线CF与DE所成的角为90°.(1)求此三棱柱的高;(2)求二面角C—AF—B的大小.14.已知ABCD是矩形,PD⊥平面ABCD,PD=DC=a,,M、N分别是AD、PB的中点。(Ⅰ)求证:平面MNC⊥平面PBC;(Ⅱ)求点A到平面MNC的距离。15.如图,正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长的3,侧棱AA1=D是CB延长线上一点,且BD=BC.(Ⅰ)求证:直线BC1//平面AB1D;(Ⅱ)求二面角B1—AD—B的大小;
8、(Ⅲ)求三棱锥C1—ABB1的体积.16.如图,正三棱柱ABC—A1B1C1,BC=BB1=1,D为BC上一点,且满足AD⊥C1D.(I)求证:截面ADC1⊥侧面BC1;(II)求二面角C—AC1—D的正弦值;(III)求直线A1B与截面ADC1距离.17.如图,在底面是直角梯形的四棱锥中,AD∥BC,∠ABC=90°,且,又PA⊥平面ABCD,AD=3AB=3PA=3a。(I)求二面角P—CD—A的正切值;(II)求点A到平面PBC的距离。18.直角梯
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