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1、立体几何高考真题大题1．（2016高考新课标1卷）如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是．（Ⅰ）证明：平面ABEF平面EFDC；（Ⅱ）求二面角E-BC-A的余弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）先证明平面,结合平面,可得平面平面．（Ⅱ）建立空间坐标系,分别求出平面的法向量及平面的法向量,再利用求二面角．试题解析：（Ⅰ）由已知可得,,所以平面．又平面,故平面平面．（Ⅱ）过作,垂足为,由（Ⅰ）
2、知平面．以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系．由（Ⅰ）知为二面角的平面角,故,则,,可得,,,．由已知,,所以平面．又平面平面,故,．由,可得平面,所以为二面角的平面角,．从而可得．所以,,,．设是平面的法向量,则,即,所以可取．设是平面的法向量,则,同理可取．则．故二面角的余弦值为．考点：垂直问题的证明及空间向量的应用【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键
3、是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主．第二问一般考查角度问题,多用空间向量解决．2．（2016高考新课标2理数）如图，菱形的对角线与交于点，，点分别在上，，交于点．将沿折到位置，．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）证，再证，最后证；（Ⅱ）用向量法求解．试题解析：（Ⅰ）由已知得，，又由得，故．因此，从而．由,得．由得．所以，．于是，，故．又，而，所以．（Ⅱ）如图，以为坐标原点，的方
4、向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，．设是平面的法向量，则，即，所以可以取．设是平面的法向量，则，即，所以可以取．于是，．因此二面角的正弦值是．考点：线面垂直的判定、二面角．【名师点睛】证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②a∥b，a⊥α⇒b⊥α；③α∥β，a⊥α⇒a⊥β；④面面垂直的性质．线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝
5、角．3．（2016高考山东理数）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线．（Ⅰ）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；（Ⅱ）已知EF=FB=AC=，AB=BC．求二面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）根据线线、面面平行可得与直线GH与平面ABC平行；（Ⅱ）立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，其中解法一建立空间直角坐标系求解；解法二则是找到为二面角的平面角直接求解．试题解析
6、：（Ⅰ）证明：设的中点为,连接,在,因为是的中点，所以又所以在中，因为是的中点，所以，又,所以平面平面，因为平面，所以平面．（Ⅱ）解法一：连接,则平面，又且是圆的直径，所以以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得，，过点作于点，所以可得故．设是平面的一个法向量．由可得可得平面的一个法向量因为平面的一个法向量所以．所以二面角的余弦值为．解法二：连接，过点作于点，则有,又平面，所以FM⊥平面ABC,可得过点作于点，连接，可得,从而为二面角的平面角．又,是圆的直径，所以从而，可得所以二面角的余弦
7、值为．考点：1．平行关系；2．异面直线所成角的计算．【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题．解答本题，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，给出规范的证明．立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法．本题能较好的考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力转化与化归思想及基本运算能力等．4．（2016高考天津理数）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中
8、点，AB=BE=2．（Ⅰ）求证：EG∥平面ADF；（Ⅱ）求二面角O-EF-C的正弦值；（Ⅲ）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】试题分析：（Ⅰ）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，利用法向量与直线方向向量垂直进行论证（Ⅱ）利用空间向量求二面角，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与二面角相等或互补关系求正弦值（Ⅲ）利用空间向量证明
