高考数学立体几何大题30题

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1、立体几何大题1．如下图，一个等腰直角三角形的硬纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，CD是斜边上的高沿CD把△ABC折成直二面角．ABC第1题图ABCD第1题图（1）如果你手中只有一把能度量长度的直尺，应该如何确定A，B的位置，使二面角A－CD－B是直二面角？证明你的结论．（2）试在平面ABC上确定一个P，使DP与平面ABC内任意一条直线都垂直，证明你的结论．（3）如果在折成的三棱锥内有一个小球，求出小球半径的最大值．解：（1）用直尺度量折后的AB长，若AB＝4cm，则二面角A－CD－B为直二面角．∵△ABC是等腰直角三角形，又∵AD⊥DC，BD⊥DC．∴∠ADC是二面角A－CD－

2、B的平面角．（2）取△ABC的中心P，连DP，则DP满足条件∵△ABC为正三角形，且AD＝BD＝CD．∴三棱锥D－ABC是正三棱锥，由P为△ABC的中心，知DP⊥平面ABC，∴DP与平面内任意一条直线都垂直．（3）当小球半径最大时，此小球与三棱锥的4个面都相切，设小球球心为0，半径为r，连结OA，OB，OC，OD，三棱锥被分为4个小三棱锥，且每个小三棱锥中有一个面上的高都为r，故有代入得，即半径最大的小球半径为．302．如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为3，侧棱长为4，连结A1B，过A作AF⊥A1B垂足为F，且AF的延长线交B1B于E。（Ⅰ）求证：D1B⊥平面AEC；

3、（Ⅱ）求三棱锥B—AEC的体积；（Ⅲ）求二面角B—AE—C的大小.证（Ⅰ）∵ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，∴D1D⊥ABCD.连AC，又底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，由三垂线定理知D1B⊥AC.同理，D1B⊥AE，AE∩AC=A，∴D1B⊥平面AEC.解（Ⅱ）VB－AEC=VE－ABC.∵EB⊥平面ABC，∴EB的长为E点到平面ABC的距离.∵Rt△ABE~Rt△A1AB，∴EB=∴VB－AEC=VE－ABC=S△ABC·EB=××3×3×=（10分）解（Ⅲ）连CF，∵CB⊥平面A1B1BA，又BF⊥AE，由三垂线定理知，CF⊥AE.于是，∠BFC为二面角B—AE—C

4、的平面角，在Rt△ABE中，BF=，在Rt△CBF中，tg∠BFC=，∴∠BFC=arctg.ABCA1B1C1M第3题图即二面角B—AE—C的大小为arctg.3．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为1，点M在BC上，△AMC1是以M为直角顶点的等腰直角三角形.（I）求证：点M为BC的中点；（Ⅱ）求点B到平面AMC1的距离；（Ⅲ）求二面角M—AC1—B的正切值.答案：（I）证明：∵△AMC1是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，30∴AM⊥MC1且AM=MC1∵在正三棱柱ABC—A1B1C1中，有CC1⊥底面ABC.∴C1M在底面内的射影为CM，由三垂线逆定理，得AM⊥CM.∵底

5、面ABC是边长为1的正三角形，∴点M为BC中点.（II）解法（一）过点B作BH⊥C1M交其延长线于H.由（I）知AM⊥C1M，AM⊥CB，∴AM⊥平面C1CBB1.∴AM⊥BH.∴BH⊥平面AMC1.∴BH为点B到平面AMC1的距离.∵△BHM∽△C1CM.AM=C1M=在Rt△CC1M中，可求出CC1解法（二）设点B到平面AMC1的距离为h.则由（I）知AM⊥C1M，AM⊥CB，∴AM⊥平面C1CBB1∵AB=1，BM=（III）过点B作BI⊥AC1于I，连结HI.∵BH⊥平面C1AM，HI为BI在平面C1AM内的射影.∴HI⊥AC1，∠BIH为二面角M—AC1—B的平面角.在Rt△BH

6、M中，30∵△AMC1为等腰直角三角形，∠AC1M=45°.∴△C1IH也是等腰直角三角形.由C1M=∴4．如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2，AB=1，F是CD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积；（Ⅲ）求二面角C-BE-D的正切值．证：（Ⅰ）取CE中点M，连结FM，BM，则有．∴四边形AFMB是平行四边形．∴AF//BM，∵平面BCE，平面BCE，∴AF//平面BCE．（Ⅱ）由于DE⊥平面ACD，则DE⊥AF．又△ACD是等边三角形，则AF⊥CD．而CD∩DE=D，因此AF⊥平面CD

7、E．又BM//AF，则BM⊥平面CDE．．（Ⅲ）设G为AD中点，连结CG，则CG⊥AD．由DE⊥平面ACD，平面ACD，则DE⊥CG，又AD∩DE=D，∴CG⊥平面ADEB．作GH⊥BE于H，连结CH，则CH⊥BE．∴∠CHG为二面角C-BE-D的平面角．由已知AB=1，DE=AD=2，则，∴．不难算出．30∴，∴．∴．5．已知：ABCD是矩形，设PA=a，PA⊥平面ABCD.M、N分别是AB、PC的中点.（Ⅰ）求证：M