自动控制原理第二章胡寿松.ppt

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1、第二章控制系统的数学模型本章主要内容：2-1拉普拉斯变换2-2控制系统的时域数学模型2-3控制系统的复域数学模型2-4控制系统结构图和信号流图2-5控制系统的传递函数2—1拉普拉斯变换拉普拉斯（laplace）变换简称为拉氏变换，是一种用来简化常系数微分方程求解过程的运算方法。一、定义若将实变量t的函数f(t)，其中s=σ+jω，s是一个复变量，在0到∞之间对t进行积分，就得到一个新的函数F(s)。F(s)称为f(t)的拉氏变换，可用符号L[f(t)]表示。常称F(s)为f(t)的变换函数或象函数，而f(t)为F(s)的原函数。例1、求单位阶跃函数的拉氏变换解：二、拉氏变换定理（1）线性定理。

2、两个函数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变换的和，即：函数放大倍的拉氏变换等于函数拉氏变换的倍，即：（2）微分性质若:当：（2）积分性质若:当初始条件为0，则有：（4）位移定理若:（5）初值定理若:（6）终值定理若:例2、求下列函数的拉氏变换。（1）（2）（3）解：（1）（2）（3）二、拉氏反变换的形式，则和为F(S)的零点和极点。式子可以写成：1、只包含互异极点的反变换。式中，为常数，2、包含重极点时的反变换。展开部分分式：引言定义：描述控制系统输入和输出之间关系的数学表达式即为数学模型。用途：1）分析控制系统2）设计控制系统2-2控制系统的时域数学模型为什么要建立数学模型？对于控制系统的性能，

3、只是定性地了解系统的工作原理和大致的运动过程是不够的，希望能够从理论上对系统的性能进行定量的分析和计算。要做到这一点，首先要建立系统的数学模型。它是分析和设计系统的依据。■表达形式：线性系统传递函数微分方程频率特性拉氏变换傅氏变换时域：微分方程、差分方程、状态方程复域：传递函数、动态结构图、信号流图频域：频率特性分析法分析法是对组成系统各环节的运动机理进行分析，根据各环节所遵循的物理学定律、化学定律等来列写系统的微分方程。例如机械系统的牛顿定律、电气系统的基尔霍夫定律和热力学系统中的热力学定律等。实验法实验法是根据实际系统的输入输出数据，用适当的数学模型去拟合这些数据，这种方法称为系统辨识。建

4、立控制系统数学模型的方法：一、系统微分方程的建立步骤：1、确定系统的输入量与输出量2、为建立入—出的关系，寻找中间变量3、总变量数目为n,则需列写n-1个独立方程（根据物理规律列写）4、从n-1个独立方程中消去各中间变量，从而建立入-出的关系。例1电学系统其中：电阻为R，电感为L，电容为C。解：系统的微分方程：+-)(tur)(tucRLCi+-1、确立入-出，入-Ur(t),出—Uc(t)；2、中间变量i(t)3、n=3，需列写n-1=2个独立方程4、消去中间变量i(t),整理后得：—线性定常二阶微分方程式kF(t)mfy(t)例2、设一弹簧、质量块、阻尼器组成的系统如图所示，当外力F(t)

5、作用于系统时，系统将产生运动。试写出外力F(t)与质量块的位移y(t)之间的微分方程。解：1、确立入-出，入-F(t),出—y(t)；2、根据牛顿定律，∑F=ma；移项后，可得到：—线性定常二阶微分方程式对照比较：相似系统相似量：二、线性系统的特性线性系统是由线性元件组成的系统，该系统的运动方程式可由线性微分方程描述，即：1、齐次性2、叠加性三、线性定常微分方程的解例3、在例1中，若已知L＝1H，C＝IF，R＝lΩ，且电容上初始电压uo(0)=0.1V，初始电流i(0)=0.1A，电源电压ui(t)=1V。试求电路突然接通电源时，电容电压uo(t)的变化规律。解在例1中得网络微分方程为对网络微

6、分方程两边求拉氏变换并代入已知数据，经整理后有在上式中，前两项是由网络输入电压产生的输出分量，与初始条件无关，故称为零状态响应；后一项则是由初始条件产生的输出分量，与输入电压无关，故称为零输入响应，它们统称为网络的单位阶跃响应。用拉氏变换法求解线性定常微分方程的过程可归结如下：考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，将微分方程转换为变量s的代数方程；由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式；对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。四、非线性微分方程的线性化y=f(x)y0x0xy小偏差线性化示意图例如，设非线性函数y=f(x)如图所示，其输入量为

7、x，输出量为y，如果在给定工作点y0=f(x0)处各阶导数均存在，则在y0=f(x0)附近将y展开成泰勒级数：如果偏差Δx=x-x0很小，则可忽略级数中高阶无穷小项，上式可写为K表示y=f(x)曲线在(x0,y0)处切线的斜率。因此非线性函数在工作点处可以用该点的切线方程线性化。在处理线性化问题时，需要注意以下几点：1.上述的线性化是针对元件的某一工作点进行的，工作点不同，得到的线性化方程的系数也