物理奥赛复赛模拟试题(四)与答案

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1、物理奥赛复赛模拟试题(四)与答案题1：如图1所示，轻滑轮两边分别悬挂相同的托盘和砝码。系统处于静止状态时右边砝码挂在盘底上方L处，然后右边砝码由于细线断裂而自由落下，已知每个托的质量和砝码的质量都是M，绳子与滑轮无摩擦且重量不计。求：图1（1）当右边砝码撞击盘底前一瞬间系统的总动能；（2）碰撞前后系统的总动量。分析与解答：首先应明确，系统挂在定滑轮上，所以碰撞过程中，系统的总动量不守恒。右盘的上方砝码开始下落过程，右盘也同时上升。（1）依题意，系统指轻滑轮、细绳、托盘和砝码所组成的系统。以地面上一点O为原点，建立直角坐标系xOy进行观察研究

2、（图1(1)。右边砝码线断后自由下落，与右盘相撞，且有                     （1）当悬线断后右盘以加速度上升一段距离s2，与下落的砝码相撞，且：图1(1)                    （2）由题意可知：                （3）将(1)、(2)、(3)式联立求解，得         ，碰撞前右砝码的速度                 （竖直向下）14碰撞前右盘的速度           （竖直向上）碰撞前左盘及其中的砝码的速度亦为，方向为竖直向下，因此，碰撞前系统的总动能为            

3、                                  （2）在计算动量时，若以竖直向上为正值，则在碰撞前后砝码的动量为，右盘的动量为，左盘及左砝码一起的动量为，所以碰撞前系统的总动量为                                        碰撞后，左盘和右盘一起运动。由于左盘、右盘以长度不变的绳子相连接，所以它们运动的速度大小应该一样，而方向相反，再加上质量相等（2M），结果左盘及砝码的合动量与右盘及砝码的合动量总是大小相等、方向相反，因而系统的总动量必为零。讨论：碰撞后的速度可推导如下：设在碰撞过程中

4、绳子张力的冲量为，碰撞后左盘以速度竖直上升，则右盘以竖直下降。左、右绳中的张力永远相等，所以在碰撞过程中左、右盘所受的冲量都是竖直向上的14，重力的冲量则由于碰撞时间很短（）而可以忽略不计。根据冲量定理，有左盘       右盘       两式相减，得                                            点评：本题在碰撞过程中动量不守恒，因为在滑轮轴上有一很大的冲力（对系统来说这是外力），它给系统的冲量不等于零，所以系统的总动量应该不守恒。题2：设曲面S是由曲线绕x轴转动的结果。如图2(a)所示。曲面两侧

5、的光学均匀媒质的折射率分别为n和。1、如果所有平行于x对称轴（光轴）的平行光线经曲面折射后相交于x轴上一点，则曲面称为无像差曲面。假定所有光线都聚焦于F点，并已知和OF=f的值。求曲线所满足的方程。考察时的情况并分析结果。图2(a)图2(b)图2(c)2、球面会聚透镜只能使傍轴光线聚焦于一点。如果我们要使宽光束会聚于一点，我们就需要有一个无像差曲面透镜。有一折射率n=1.5的平凸透镜。半径R=5cm，如图2(b)所示，使一束垂直入射于平面的平行光束聚焦于F点，其中OF=f=12cm。求平凸透镜中心处厚度的最小值。3、有一折射率n=1.5的平

6、凹透镜，半径R=2cm，边缘厚度14，如图2(c)所示，如果垂直入射于平面的平行光束，经折射后，折射光线的延长线交于F点，其中OF=f=20cm，求平凹透镜中心处厚度的最小值。分析与解答：1、假定离O点无限处的点发出一束平行于x轴的平行光线，从点到F点所有光线的光程都相等。现考虑一入射光线交于曲面上的A点的半径为x和y，它的光程为常数           （1）而，对于所有光线，所以常数            （2）利用图4-3-131（），我们可写为 ；     （3）从（2）式和（3）式得常数      （4）对于沿x轴的光线，有   

7、   （5）从（4）式和（5）式可得          （6）将（6）式中移至等式右边，两边平方，即得   （7）一般说，（7）式是一椭圆方程，于是曲面S是旋转椭球面，（7）式也可以是抛物面或双曲面的方程，这取决于，n和f的值。当时，从（7）式可得                         （8）14图2(f)图2(d)这时，曲面是一抛物面反射镜。所以抛物面镜不仅可使傍轴光线聚焦于一点，而且也可使宽光束聚焦于一点。2、根据1.所描述的方法，从图2(d)可得  （9）对于y=R,x=0，从（9）式可得3、由透镜凹面折射后产生发散光束，可

8、视为从焦点F处的点光源像所发出的光束。显然，yOZ平面和以F为中心，FA为半径的球面是两个波面。通过这两波面之间的所有光线是等光程的，见图2(f)。 ； ；          （