量子力学3.3一维谐振子.ppt

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1、§3.3一维谐振子在经典力学中，当质量为的粒子，受弹性力作用，由牛顿第二定律可以写出运动方程为：其解为。这种运动称为简谐振动，作这种运动的粒子称为（线性）谐振子。经典允许的振动范围1.经典谐振子谐振子哈密顿量：引言谐振子能量：量子力学中的线性谐振子是指在势场中运动的质量为的粒子2.量子谐振子例如双原子分子，两原子间的势是二者相对距离的函数，如图所示。自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐

2、振动。简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的。在处，有一极小值。在附近，势可以展开成泰勒级数：axV(x)0V0记若取，即平衡位置处于势点；并记，x'=x-a则一维谐振子的本征值问题是处理量子力学问题的最基本的范例。一、势函数选线性谐振子的平衡位置为坐标原点以坐标原点为零势能点则一维线性谐振子的势能为：m是粒子的质量k是谐振子的劲度系数是谐振子的角频率二、薛定谔方程及解上述方程可化为这是个变系数常微分方程。对方程其解显然可以写为因为（2）求实

3、际解n=0,1,2,…此时是一个实函数。所以归一化波函数为线性谐振子波函数线性谐振子位置概率密度线性谐振子n=11时的概率密度分布虚线代表经典结果：经典谐振子在原点速度最大，停留时间短粒子出现的概率小；在两端速度为零，出现的概率最大。符合玻尔对应原理量子概率分布过渡到经典概率分布量子：在其它范围也能找到粒子。以基态为例，在x=0处概率最大3、经典禁区见右图。当振子处于最大位移处时，势能=总能量如下图所示：