【备战2014】北京中国人民大学附中高考数学（题型预测+范例选讲）综合能力题选讲 第03讲 指数函数与对数函数（含详解）.doc

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1、指数函数与对数函数题型预测指数函数与对数函数都是非常重要的初等函数，也是我们在高中阶段研究函数问题时主要的载体．其它初等函数与之相复合，所得到的新函数的定义域、值域、单调性，以及它们与不等式的综合常常成为考查的核心．范例选讲例1．已知，其中．（1）试求的定义域和值域；求出的反函数；（2）求出的反函数；（3）判断函数的奇偶性和单调性；（4）若实数满足，求的取值范围.讲解（1）由于，所以，函数的定义域为R.为求的值域，观察函数的解析式．注意到其实是一个单调函数（）和一个非单调函数（）之和，因此，的单调性

2、并不能通过简单判断很快得到．解决这个问题，我们可以有下面的两种选择：一、从单调性的定义出发．即任取，且，比较的大小关系，这种方法留给同学自己完成．二、通过刚才的观察，很快可以看出：在上单调递增，此时，的取值范围为；当时，，因此，若令，则由，则可知：此时的取值范围为．3又时，．所以，函数的值域为．所以，函数的值域为R．（2）设，则=，利用与互为倒数，可得=，所以，．所以，=，R．（3）任取R，则==，所以，函数为奇函数．任取，且，则由及指数函数的性质可知：，，所以，，即．所以，在定义域内单调递增．（4

3、）由得：，即：结合的单调性可知：上式等价于：，解之得：．点评①定义域是研究函数的基础．求值域、判断奇偶性、单调性、研究函数图象等都应先从定义域出发．②从定义域出发，利用函数的单调性，是求函数值域常用的方法．例2．已知函数，对定义域内的任意都有成立．（1）求实数的值；（2）若当时，的取值范围恰为，求实数的值．讲解：（1）由及可得：3解之得：．当时，函数无意义，所以，只有．（2）时，，其定义域为.所以，或．①若，则．为研究时的值域，可考虑在上的单调性．下证在上单调递减．任取，且，则又，所以，，即．所以，

4、当，在上单调递减由题：时，的取值范围恰为，所以，必有，解之得：（因为，所以舍去）②若，则．又由于，所以，．此时，同上可证在上单调递增（证明过程略）．所以，在上的取值范围应为，而为常数，故的取值范围不可能恰为．所以，在这种情况下，无解．综上，符合题意的实数的值为，点评本题（2）中，充分的运用已知条件，可以减少分类讨论的次数．3